Gestauchter Paraboloid : Volumen

25.06.2017, 19:51	chiros	Auf diesen Beitrag antworten »
Gestauchter Paraboloid : Volumen Meine Frage: Guten Abend! Wir sollen in Höherer Mathematik gerade das Volumen eines Körpers berechnen der durch $\begin{eqnarray} K = \left\{ \left(x,y,z\right)\in \mathbb R^3\|0\leq z\leq 2-x^{2}-8y^{2} \right\} \end{eqnarray}$ gegeben ist. Man soll dazu die allgemeinen eliptischen Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos(t) \\ \frac{r\sin(t)}{2} \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ verwenden. Allerdings weiß ich noch nicht, wie die Integrationsgrenzen für $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ gesetzt werden müssen. Meine Ideen: Daraus habeich schon mal die Bedingung für $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ umgeformt zu $\begin{eqnarray} 0\leq z\leq 2-2r^{2} \end{eqnarray}$ und die Jacobideterminante dieser Koordinaten berechnet, die $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}r \end{eqnarray}$ ist. Also $\begin{eqnarray} \int_{0}^{?} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi } \frac{1}{2}r\, dt \, dz \, dr \end{eqnarray}$ Danke schon mal! Gruß chiros
26.06.2017, 09:11	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gestauchter Paraboloid : Volumen Hm. Irgendwie ist mir nicht klar, wie du von $\begin{eqnarray} 0 \leq z\leq 2-x^2-8y^2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} 0\leq z\leq 2-2r^2 \end{eqnarray}$ kommst.
26.06.2017, 11:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Koordinatensystem-Empfehlung passt auch nicht zu dem oben definierten $\begin{align} K \end{align}$ . Ich tippe mal stark darauf, dass genau dort ein Schreibfehler vorliegt und eigentlich $\begin{align} K = \left\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid 0\leq z\leq 2-{\color{red}2}x^2-8y^2 \right\} \end{align}$ gemeint ist.
28.06.2017, 17:57	chiros	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt tut mir Leid. Ich habe es mittlerweile gelöst indem ich statt [latex]2, 2-r^2[\latex] als Grenze für z eingesetzt und für [latex] r von 0 bis 1 [\latex] integriert habe.

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