Extremwerte, kritische Punkte ; Nichtlineare Gleichungssysteme

26.06.2017, 12:13

dubbox

Extremwerte, kritische Punkte ; Nichtlineare Gleichungssysteme

Meine Frage:
Ich sitze mal wieder an zwei Aufgaben von unserem Prof und brauche eure kompetente Hilfe Big Laugh

Extremwerte:

Wir betrachten die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^3+6xy^2-2y^3-12x \end{eqnarray*}$

Bestimmen und charakterisieren Sie alle kritischen Punkte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Nichtlineare Gleichungssysteme:

Zeigen Sie, dass das nichtlineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} cos(v) = u(cos(u)+3)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin(u)=v(sin(v)+3)^2 \end{eqnarray*}$

genau eine Lösung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ hat.
Hinweis: Sie müssen die Lösung nicht bestimmen!

Meine Ideen:
Ich starte mal mit dem Nichtlinearen Gleichungssystem.

Hier bin ich zuerst einmal etwas verwirrt, ist das eine allgemeine Definition vom Cosinus und Sinus oder sozusagen selbst erstellt? Weil im Prinzip ist doch $\begin{eqnarray*} cos(v)=cos(v) \end{eqnarray*}$ und nichts anderes? Aber wahrscheinlich wird das ja schon so stimmen Big Laugh

Wir haben also eine Definition für den Cosinus von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ .

Leider hab ich hier gar keine Ahnung wie ich das angehen soll, wenn ich die Lösung nicht bestimmen soll, wird dies wohl schwieriger sein als die eigentliche Aufgabe. Leider finde ich im Skript nichts zu nichtlinearen Gleichungssystemen und kenne so auch keinen Satz, der besagt wann ein nichtlineares Gleichungssystem genau eine Lösung hat.

Extremwerte:

Hier brauchen wir ja den Gradient von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ wenn ich das ganze Thema richtig verstanden habe. Da man mit dem ja viel zeigen kann. Allgemein bin ich aber hier nicht sicher wie ich es angehen soll, bilde aber mal den Gradient

$\begin{eqnarray*} \Delta f(x,y) = (\delta_1f(x,y),\delta_2f(x,y)) = ((3x^2+6y^2-12),(12xy-6y^2))=((3x^2+6y^2-12),(-6y(y-2x)) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich ja die kritischen Punkte bestimmen. Wenn ich das richtig verstanden habeist das die Lösung für $\begin{eqnarray*} \Delta f(x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ also die Lösungen des LGS(die zweite Gleichung ist keine lineare oder?)

$\begin{eqnarray*} -6y(y-2x)=0 3x^2+6y^2-12 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -6y(y-2x)=0 \end{eqnarray*}$ gilt im Fall $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ und im Fall $\begin{eqnarray*} y-2x=0 \Rightarrow y=2x \end{eqnarray*}$

Für den Fall $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ gilt in der zweiten Gleichung

$\begin{eqnarray*} 3x^2-12=0 3x^2=12 x^2=4 x_1=2, x_2=-2 \end{eqnarray*}$

und im Fall $\begin{eqnarray*} y=2x \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} 3x^2+6(2x)^2-12=3x^2+24x^2-12=27x^2-12=0 27x^2=12 \end{eqnarray*}$ da hab ich wohl irgendwo unfung gebaut, sieht ja eher hässlich aus :/

Hättte ich aber jetzt alle kritischen Punkte, würde ich die Hesse-Matrix bilden und so die Extremwerte/Minimum Maximum bestimmen oder gehört das gar nicht mehr zur Aufgabe? Bin mir nicht sicher was charakterisieren der kritischen Punkte hießt, denke aber genau das oder?

26.06.2017, 12:51

klarsoweit

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RE: Extremwerte, kritische Punkte ; Nichtlineare Gleichungssysteme

Zitat:

Original von dubbox
Hier bin ich zuerst einmal etwas verwirrt, ist das eine allgemeine Definition vom Cosinus und Sinus oder sozusagen selbst erstellt? Weil im Prinzip ist doch $\begin{eqnarray*} cos(v)=cos(v) \end{eqnarray*}$ und nichts anderes? Aber wahrscheinlich wird das ja schon so stimmen Big Laugh

Ich verstehe nicht, was du da sagen willst. Du hast da keine Definition des Cosinus, sondern ein Gleichungssystem.

Zitat:

Original von dubbox
Allgemein bin ich aber hier nicht sicher wie ich es angehen soll, bilde aber mal den Gradient

$\begin{eqnarray*} \Delta f(x,y) = (\delta_1f(x,y),\delta_2f(x,y)) = ((3x^2+6y^2-12),(12xy-6y^2))=((3x^2+6y^2-12),(-6y(y-2x)) \end{eqnarray*}$

Den Gradienten schreibt man doch eher so: $\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y) = (\delta_xf(x,y), \delta_yf(x,y)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von dubbox
$\begin{eqnarray*} 3x^2+6(2x)^2-12=3x^2+24x^2-12=27x^2-12=0 27x^2=12 \end{eqnarray*}$ da hab ich wohl irgendwo unfung gebaut, sieht ja eher hässlich aus :/

Mag sein, aber einen Fehler kann ich da nicht erkennen.

Zitat:

Original von dubbox
Hättte ich aber jetzt alle kritischen Punkte, würde ich die Hesse-Matrix bilden und so die Extremwerte/Minimum Maximum bestimmen oder gehört das gar nicht mehr zur Aufgabe? Bin mir nicht sicher was charakterisieren der kritischen Punkte hießt, denke aber genau das oder?

Genau. Du sollst nun eine Aussage machen, ob diese Punkte Extremstellen sind oder nicht.

26.06.2017, 14:08

dubbox

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Zitat:

Ich verstehe nicht, was du da sagen willst. Du hast da keine Definition des Cosinus, sondern ein Gleichungssystem.

Spielt eigentlich auch nicht so eine große Rolle Big Laugh

Hast schon recht, mich hat nur die Art wie das da steht verwirrt gehabt. Ich suche hier ja genau ein $\begin{eqnarray*} v,u \end{eqnarray*}$ für das diese Gleichung gilt, ist also nix allgemeines. Hab da einfach nicht nachgedacht...^^

Nur wie gehe ich das an, durch substitution wahrscheinlich oder?

Wenn ich mir das ganze anschaue, sehe ich nicht so richtig wo ich substituieren kann?

$\begin{eqnarray*} cos(v)=u(cos(u)+3)^2=u(v(cos(v)+3)^2+3)^2 \end{eqnarray*}$ der Ausdruck wird ja einfach nur immer länger...

Oder muss ich hier mit der Definition von Sinus und Cosinus über Reihen arbeiten, irgendwie glaube ich das nicht, da das schon länger her ist und wir grade andere Themen haben, ebenso muss ich die Gleichung ja nicht lösen sondern lediglich zeigen dass sie genau eine Lösung hat.

Zitat:

Den Gradienten schreibt man doch eher so: $\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y) = (\delta_xf(x,y), \delta_yf(x,y)) \end{eqnarray*}$

Bei uns schreibt der Prof das mit Zahlen, ist wohl besser geeignet um die Studenten zu verwirren. Finde ich nicht gerade gelungen aber naja.

$\begin{eqnarray*} \delta_1f(x,y)=\delta_xf(x,y), \delta_2f(x,y)=\delta_yf(x,y),\delta_1^2f(x,y)=\delta_{x,2}f(x,y), \delta_{12}f(x,y)=\delta_{xy}f(x,y) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Mag sein, aber einen Fehler kann ich da nicht erkennen.

Die Frage ist dann nur wie geht es hier weiter?
Es wäre dann ja

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\frac {12}{27}} \end{eqnarray*}$

Hätte ich dann die kritischen Punkte von

$\begin{eqnarray*} (2,0),(-2,0),(\sqrt{\frac{12}{27}},2(\sqrt{\frac{12}{27}}) \end{eqnarray*}$

26.06.2017, 14:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von dubbox
Es wäre dann ja

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\frac {12}{27}} \end{eqnarray*}$

Nun ja, man kann ja noch kürzen und sollte auch die zweite Lösung nicht ignorieren: $\begin{eqnarray*} x = \pm \frac 2 3 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

26.06.2017, 14:48

dubbox

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Ahhh hier haben wir doch jetzt die schöne Lösung nach der ich gesucht habe Big Laugh

Danke dafür dann mach ich mich mal dran zu schauen ob das jetzt Extremwerte sind!!

Eine Idee zum nichtlinearen Gleichungsystem von oben?

26.06.2017, 15:05

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Zitat:

Original von dubbox
Eine Idee zum nichtlinearen Gleichungsystem von oben?

Nein, im Moment leider nicht. Vielleicht jemand anders?

27.06.2017, 09:51

dubbox

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Also habe die Extremwertaufgabe soweit fertig denke ich

Die kritischen Punkte sind

$\begin{eqnarray*} (-2,0),(2,0),(\frac 2 3, \frac 4 3),(-\frac 2 3, -\frac 4 3) \end{eqnarray*}$

Jetzt bilden wir noch die Hesse-Matrix mit

$\begin{eqnarray*} H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x & 12y \\ 12y & 12x-12y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich für die kritischen Punkte

$\begin{eqnarray*} H_f(2,0)=\begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 24 \end{pmatrix} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ positiv definit, da alle Unterminoren größer 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Minimum

$\begin{eqnarray*} H_f(-2,0)=\begin{pmatrix} -12 & 0 \\ 0 & -24 \end{pmatrix}\Rightarrow \end{eqnarray*}$ neg. definit, da $\begin{eqnarray*} H_f(-2,0)=-H_f(2,0) \end{eqnarray*}$ oder eben da Unterminoren alternierend beginnend mit Minus $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Maximum

$\begin{eqnarray*} H_f(\frac 2 3,\frac 4 3)=\begin{pmatrix} 4 & 16 \\ 16 & -8 \end{pmatrix}\Rightarrow \end{eqnarray*}$ indefinit $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ kein Extremwert

$\begin{eqnarray*} H_f(-\frac 2 3,-\frac 4 3)=\begin{pmatrix} -4 & -16 \\ -16 & -8 \end{pmatrix}\Rightarrow \end{eqnarray*}$ indefinit $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ kein Extremwert

Somit sollte das erledigt sein oder?

Jetzt bleibt nur noch diese blöde nichtlineare Gleichung unglücklich

Hat da jemand eine Idee??

27.06.2017, 10:22

dubbox

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Ist das Verfahren das dieser Rechner anwendet http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...ngssysteme2.htm eventuell der Weg zur Lösung dieses nichtlinearen Gleichungssystems? Würde ins Thema passen mit Jacobi-Matrizen. Leider funktioniert der Rechner nicht bei mir, kann also nicht sagen ob es zu einem Ergebnis führen würde. Ebenso wenig kenne ich das Verfahren an sich.

Aber ich will ja eigentlich gar keine Lösung bestimmen sondern nur zeigen das es genau eine Lösung hat... verwirrt

28.06.2017, 13:53

dubbox

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Hab hier mal einen neuen Thread zu der Aufgabe aufgemacht da sie etwas schwieriger scheint
Nichtlineares Gleichungssystem : Genau eine Lösung

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