Gleichmäßig konvergente Fkt.-Folge beschränkt

26.06.2017, 13:36

SalmonTwitter

Gleichmäßig konvergente Fkt.-Folge beschränkt

Meine Frage:
zz.: Jede [lokal] gleichmäßig konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ von [lokal] beschränkten Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n: D \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist lokal beschränkt.

Meine Ideen:
So ganz werde ich nicht schlau daraus. Was soll das lokal in den eckigen Klammern?
Und v.a.: Wenn alle Funktionen der Folge beschränkt sind, dann ist doch klar, dass auch die Folge beschränkt ist, halt durch die Konstante, die die "größte" der Funktionen beschränkt, oder?? Wozu brauche ich da gleichmäßige Konvergenz?

Wo ist der Haken bei der Aufgabe/wie lautet der tatsächliche Beweis?

Danke

26.06.2017, 13:57

Clearly_wrong

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Die eckigen Klammern bedeuten, dass du entweder jedes mal "lokal" weglassen kannst oder jedes mal dazuschreiben kannst und in beiden Fällen stimmt die Aussage. Allerdings fehlt hier eine eckige Klammer um das letzte "lokal".

Zitat:

Wenn alle Funktionen der Folge beschränkt sind, dann ist doch klar, dass auch die Folge beschränkt ist, halt durch die Konstante, die die "größte" der Funktionen beschränkt, oder?

Und warum sollte es eine "größte" Funktion geben?
Betrachte zum Beispiel $\begin{align*} D = (0,\infty) \end{align*}$ und $\begin{align*} f_n(x) = \begin{cases}x,\quad &\text{falls $x\leq n$}\\0,\quad &\text{falls $x>n$}\end{cases} \end{align*}$ . Ist deren Grenzfunktion $\begin{align*} f \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x) = x \end{align*}$ etwa beschränkt?

Zitat:

Wo ist der Haken bei der Aufgabe/wie lautet der tatsächliche Beweis?

Den Haken an der Aufgabe habe ich dir jetzt gezeigt. An einem Beweis solltest du erst mal selbst überlegen, nachdem du jetzt ja weißt, wo der Haken ist. Ich würde vorschlagen, mit der Version ohne "lokal" zu beginnen.

26.06.2017, 14:20

SalmonTwitter

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Danke für die Erklärungen. Was ich noch nicht ganz verstehe: Wann gilt denn eine Funktionenfolgeeigentlich als "beschränkt"? Wenn die Grenzfunktion beschränkt ist?

26.06.2017, 17:12

Clearly_wrong

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Eine Funktionenfolge $\begin{align*} (f_n)_n \end{align*}$ heißt beschränkt, wenn es $\begin{align*} C>0 \end{align*}$ gibt, mit $\begin{align*} \|f_n\|\leq C \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\in\mathbb N \end{align*}$ , dabei muss dann die Norm $\begin{align*} \|\cdot\| \end{align*}$ entweder aus dem Kontext klar sein oder explizit erwähnt werden.

Wir setzen hier aber keine beschränkte Funktionenfolge voraus! Stattdessen haben wir eine Funktionenfolge beschränkter Funktionen, da müssen einfach alle $\begin{align*} f_n \end{align*}$ für sich beschränkt sein, es muss also ein $\begin{align*} C_n>0 \end{align*}$ geben mit $\begin{align*} \|f_n\|_\infty \leq C_n \end{align*}$ , das darf also von $\begin{align*} n \end{align*}$ abhängen.

26.06.2017, 19:27

SalmonTwitter

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Aber könnte man dann nicht einfach für C das größte der $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ nehmen? Dann hätte man doch das gewünschte Resultat.

So auch in deinem Beispiel: Klar, die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ sind alle für sich jeweils beschränkt. Aber die Folge der $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ ist doch dann auch beschränkt, und zwar durch n, oder nicht? Denn alle $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ sind doch kleiner/gleich n.

26.06.2017, 19:52

Clearly_wrong

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Es gibt kein größtes $\begin{align*} C_n \end{align*}$ , die werden doch immer größer, siehst du das nicht?

Was genau ist denn an meinem Beispiel oben noch unklar? Die Grenzfunktion ist doch ganz offensichtlich nicht beschränkt oder siehst du das anders?

26.06.2017, 20:21

SalmonTwitter

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Kein Grund gleich so ungeduldig zu werden. Wir operieren nicht am offenen Herzen Augenzwinkern

Sorry für meine Begriffsstutzigkeit.

Natürlich hast du völlig Recht, die n sind nicht endlich, d.h. es gibt kein größtes $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ . Und natürlich ist die Grenzfunktion nicht beschränkt, jetzt habe selbst ich (endlich) verstanden, wo das Problem liegt.

Auch über den Beweis hab ich mir jetzt nochmal den Kopf zerbrochen, aber ich komme nicht weiter. Voraussetzung ist, dass die
$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ beschränkt sind, d.h. zu jedem gibt es ein $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f_n|<C_n \end{eqnarray*}$ .
Voraussetzung ist auch, dass $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen f konvergiert, d.h. für $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sodass
$\begin{eqnarray*} |f_n-f|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ .

Ich sehe einfach nicht, wie ich diese beiden zusammenbringen kann...

26.06.2017, 20:45

Clearly_wrong

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Du hast doch bestimmt schon einmal den Beweis gesehen, dass reelle Cauchyfolgen beschränkt sind, oder?

Versuch mal, das hier zu reproduzieren, nur dass du den Betrag hier durch $\begin{align*} \|\cdot\|_\infty \end{align*}$ ersetzt. Eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge ist eine Cauchyfolge bzgl. $\begin{align*} \|\cdot\|_\infty \end{align*}$ .

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