Zentraler Grenzwertsatz Münzwurf bis 100 mal Kopf |
26.06.2017, 19:29 | info96er | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zentraler Grenzwertsatz Münzwurf bis 100 mal Kopf Folgende Aufgabe: Man wirft eine faire Münze so oft, bis man 100 mal Kopf gesehen hat. Dabei Bezeichne nun S die Anzahl der Würfe. Nun soll die Wahrscheinlichkeit approximativ mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes Bestimmt werden. Meine Ideen: So richtig komme ich hier nicht weiter, offenbar ist der Erwartungswert für 100 mal Kopf ja . Die Varianz beträgt folglich (?). Damit sind die Vorraussetzungen, den ZGWS anzuwenden, ja schonmal gegeben. Nun weiß ich aber nicht, wie es weiter geht. Ein Versuch war bereits die Zufallsvariable einzuführen, die 1 ist, wenn im i-ten Wurf Kopf geworfen wird und 0, wenn im i-ten Wurf Zahl fällt. Die Summe aller von i=1 bis S muss also gleich 100 sein. Das hilft mir aber noch nicht, eine Gleichung aufzustellen, bei der ich den Zentralen Grenzwertsatz anwenden kann, da ich immer mindestens zwei unbekannte habe... Ist der Ansatz vielleicht auch völliger quatsch? |
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26.06.2017, 19:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Anzahl Würfe bis zum ersten Erreichen von Kopf ist eine geometrisch verteilte Zufallsgröße (Variante A) mit Parameter . Betrachtet man nun 100 unabhängige solchermaßen verteilte Zufallsgrößen , so kann man für dein Problem hier modellieren. Insofern ist und . Das gleiche Ergebnis bekommt man auch, wenn man sich direkt der Verteilung von zuwendet: Das ist die Negative Binomialverteilung . |
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26.06.2017, 20:56 | info96er | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank, das war mindestens einer meiner Fehler! Wenn ich nun mit diesen Werten weiter rechne, nutze ich also den Zentralen Grenzwertsatz. Wenn unabhängige Zufallsvariablen sind, die die gleiche Verteilung besitzen und sowohl Erwartungswert als auch Varianz existieren, dann gilt geht für n gegen unendlich (große n) gegen . Mir ist nicht ganz klar, was hier n und was nun ist. Wenn n die Anzahl der Versuche bezeichnet, müsste n hier doch 250 sein, da ich ja suche oder nicht? Und ? |
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26.06.2017, 21:06 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun, du könntest die von mir eingeführten geometrisch verteilten als deine nehmen. |
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28.06.2017, 10:21 | info96er | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das habe ich auch schon probiert, aber mir ist nicht klar was die Summe dieser ist, bzw. wie ich diese Berechne. Meiner Meinung nach müsste die Summe doch auch 250 betragen, da wir S ja auf 250 begrenzen in der Rechnung. Dann steht aber in der Normalverteilung sowas hier: Das kann aber nicht sein. Ich glaube ich habe noch einen Elemantaren Denkfehler da drin. |
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28.06.2017, 10:51 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben mit geometrisch verteilten unabhängigen , was insbesondere sowie bedeutet. Daraus folgt und laut ZGWS die Aussage, dass approximativ standardnormalverteilt ist: Was willst du mehr? Damit wäre (mit Stetigkeitskorrektur, auch wenn die hier wenig bringt) . Wir befinden uns hier aber in einem extremen Randbereich der Normalverteilung, und angesichts dessen, dass die Summe von nur 100 i.i.d. Zufallsgrößen ist, lässt an der Güte der Approximation Zweifel aufkommen. Und tatsächlich ergibt die exakte Rechnung mit der oben angeführten negativen Binomialverteilung , das ist mehr als dreimal (!) so groß wie der Approximationswert. Also Vorsicht mit der Normalverteilungsapproximation in diesen Randbereichen: Der absolute Approximationsfehler mag nicht so groß sein, der relative (wie eben gesehen) allerdings schon. |
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28.06.2017, 10:55 | info96er | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank, ich hatte die Formel des ZGWS nicht ganz richtig. Ja, die Approximation ist hier sehr ungenau, ich glaube genau dafür ist die Fragestellung gedacht, um ein bisschen darauf zu sensibilisieren! |
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28.06.2017, 11:04 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, für kann man so wie ich oben verwenden, das ist etwas allgemeiner und auch für nicht identisch verteilte Summanden zu gebrauchen. Hat man allerdings i.i.d. , so kann man auch die Darstellung nehmen. Du hast oben wohl die letztere Formel genommen, aber statt irrtümlich eingesetzt. |
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