Wie viele Untervektorräume der Dimension 1 gibt es in V

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26.06.2017, 20:40	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie viele Untervektorräume der Dimension 1 gibt es in V Haben die oben gestellte Frage bezogen auf den Körper Fp- Vektorraum bekommen. Mein Problem ist , dass mir irgendwie die Idee fehlt wie ich hier vorgehen soll. Als ich auf der Seite http://www.mathsim.eu/lehre/2014W-Linear...blatt07_lsg.pdf c) geschaut habe, so kam mir die Formel ein bisschen merkwürdig vor, da ich beispielsweise für p^3 im K^2 5 linear unabhängige Untervektorräume bekomme. ((0,1) (1,0) (1,1) (1,2) (2,1) ) Die formel (p^n -1)/(p-1) liefert als Ergebnis jedoch 4. Könnte mir jemand sagen was an meinem Beispiel falsch wäre und wenn möglich einen Tipp geben wie man hier vorgehen sollte.
26.06.2017, 21:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deine Aufgabe nicht. Um welchen Vektorraum geht es? mod 3 ist 2(1,2)=(2,1)
26.06.2017, 22:30	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
es geht um den Fp-Vektorraum wobei V:=Fp^n mit p=Primzahl als Beispiel habe ich Fp mit p =3 genommen also den Möglichkeiten (0,1,2) mit n=2.
26.06.2017, 22:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich mir schon gedacht. Offenbar gibt es 4 eindimensionale UVRe.
26.06.2017, 22:47	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
wo genau habe ich einen zu viel , da ich ja auf 5 komme?
27.06.2017, 08:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast 5 beliebige von 9 möglichen Vektoren aufgeschrieben. Du musst Vektorraeume aufschreiben. Nimm einen der 8 vom Nullvektor verschiedenen Vektoren als Basisvektor (das geht, weil jeder 1-dimensionale UVR eine Basis mit genau einem Vektor hat) und multipliziere ihn mit 0,1,2. Mache das mit allen Vektoren, und du hast 4 Vektorraeume. Lies danach meinen ersten Beitrag, und du wirst verstehen, dass dieser schon die Antwort auf deine Fragen enthält.
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27.06.2017, 13:19	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe das Modulo ganz vergessen, die letzten beiden sind dann ein U
27.06.2017, 14:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gennauer: die letzten beiden Vektoren sind Basen eines Untervektorraums. Jeder eindimensionale Untervektorraum enthält genau 3 Vektoren. Der Nullvektor liegt in jedem Untervektorraum. Die 8 vom Nullvektor verschiedenen Vektoren werden auf 4 eindimensionale Untervektorräume aufgeteilt.
27.06.2017, 18:45	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die Hilfe, habe es jetzt glaube ich auch für das allgemeine p^n verstanden , da ja sozusagen nur eine einzige Zeile entscheidend ist. Aus p^n -1 Möglichkeiten folgt, dass in der letzten Potenz nur 2 werte entscheidend sind und der Rest weggekürzt werden muss. Für 0 sind alle verschieden und für ein m element(meine natürlich das Elementzeichen) Fp/[0] gilt 1=ra + sp (größter gemeinsamer Teiler). wodurch der Bruch p^n-1/(p-1) folgt.
27.06.2017, 19:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nicht. Ist das eine sinnvolle Begründung ? Was hat das mit einem ggT zu tun ? In deinem Übungsblatt steht doch alles, was du wissen möchtest. Habe ich nicht genau das gesagt, was auch dort steht (obwohl ich es gerade eben zum ersten mal gesehen habe) ? Es werden ganz einfach die Elemente in $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^n}^ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb F_p^* \end{eqnarray*}$ gezählt.
27.06.2017, 21:29	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
bin jetzt davon ausgegangen dass die Elemente 1 bis p-1 ein Inverses haben, sodass ab= 1 . Der ggT zeigt , dass eben dies in diesem Körper möglich ist , was das ganze in einer bestimmten Zeile auf 2 Möglichkeiten begrenzt. Zumindest hatten wir es mit dem ggT gemacht, weswegen ich es als sinnvoll erachtet habe.
27.06.2017, 21:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Worte mögen sinnvoll sein oder nicht, ich verstehe nichts. Kannst du einen nachvollziehbaren Beweis formulieren ?
27.06.2017, 22:13	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachtet man nur eine Zeile während alle anderen alles mögliche seien können. so gilt für diese Zeile, dass diese ein Element von 0 bis p-1 ist. Für 0 ist der Fall ja klar. Für 1 bis p-1 gilt jedoch 1=ra + sp, da der einzige Teiler p und 1 ist. Dabei ist r der Rest und s irgendein vielfaches von p(haben es nicht mit modulo gemacht). Dabei gilt b= r woraus folgt. ab=Rest von ab=Rest von ar. Aus sp=0 folgt 1=Rest von ra=ab . So zumindest der Beweis in unserem Skript für das Inverse.(kenne mich leider noch nicht mit latex aus). Daraus folgt dass ich jeder Zahl von 1 bis p-1 in irgendeiner Zeiler irgendein Vorfaktor geben kann, wodurch dieser 1 ergibt. D.h wiederum, dass 1 bis p-1 nur eine Möglichkeit ist.
28.06.2017, 06:45	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
mein Beweis ist absolut falsch, wie ich leider gerade merke, ist es falsch es auf eine Zeile zu begrenzen. Der Beweis im Internet erscheint mir erst jetzt plausibel . Jeder potenzielle U enthält 0 Vektor und 1 bis p-1 gleiche Unter-Vektorräume, wodurch dieser Bruch erst einen Sinn ergibt und es mir gerade auch schwer fällt zu verstehen warum ich es beim durchlesen nicht verstanden habe.
28.06.2017, 08:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Fähigkeit zur Einsicht ehrt dich, jeder darf Fehler machen, wichtig ist, sich selbst verbessern zu können. Ich glaube, es ist mir jetzt klar geworden, wo das Problem liegt, deswegen schiebe ich ein paar Erläuterungen nach. Ein $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum der Dimension 1 ist isomorph zum $\begin{eqnarray} K^1 \end{eqnarray}$ , also hat jeder 1-dimensionale $\begin{eqnarray} F_p \end{eqnarray}$ -Vektorraum genau $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Elemente. Zum Nullvektor kommen also noch genau $\begin{eqnarray} p-1 \end{eqnarray}$ Elemente hinzu. Ein Vektorraum ist auch eine Menge, die Menge $\begin{eqnarray} F_p^n \end{eqnarray}$ hat $\begin{eqnarray} p^n \end{eqnarray}$ Elemente, davon sind $\begin{eqnarray} p^n-1 \end{eqnarray}$ Elemente invertierbar, diese werden auf Teilmengen von jeweils $\begin{eqnarray} p-1 \end{eqnarray}$ Elementen aufgeteilt. Um das Argument abzuschließen, muss man noch beweisen, dass dies eine Klasseneinteilung ist, man muss also zeigen, dass die Relation "x und y liegen in einem UVR" eine Äquivalenzrelation ist. Das geht so: $\begin{eqnarray} x=1x \end{eqnarray}$ ist ein Vektorraumaxiom, $\begin{eqnarray} x=ay\Rightarrow y=a^{-1}x \end{eqnarray}$ , weil jedes $\begin{eqnarray} a\in\mathbb F_p^ \end{eqnarray*}$ invertierbar ist. "Transitiv" kannst du selbst versuchen. Und jetzt sollte alles glasklar sein - wenn nicht, frage nach.
29.06.2017, 09:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ich gesagt habe, ist zwar nicht falsch, aber es geht vielleicht besser ohne Äquivalenzrelation. Betrachtet man einfach die Dimension des Durchschnitts zweier UVRe, dann ist klar, dass zwei eindimensionale UVRe entweder gleich sind oder ihr Durchschnitt={0} ist. Diese Idee lässt sich dann auch verallgemeinern, wenn man in endlichen Vektorräumen alle Untervektorräume sucht.

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