Warum sind alle Mengen offen?

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28.06.2017, 17:11

kularuguno

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Warum sind alle Mengen offen?

Warum sind in Analysis 2 immer alle Mengen offen? Wozu benötige ich das?

28.06.2017, 17:26

HAL 9000

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Man braucht halt bei vielen Betrachtungen um jeden Punkt herum seinen Freiraum. Big Laugh

Weiter gehe ich erst auf die Frage ein, wenn sicher ist, dass der Fragesteller nicht Gmasterflash ist, denn irgendwie klingt die Anfrage danach.

28.06.2017, 17:54

kularuguno

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Also ich bin nicht Gmasterflash, wer auch immer das ist verwirrt

Vielleicht sollte ich etwas konkreter werden: Warum kann ich nur auf offenen Mengen differenzieren? In $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann man ja auch auf abgeschlossenen Intervallen differenzieren. Warum dann diese Einschränkung im Mehrdimensionalen

28.06.2017, 18:11

Guppi12

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Hallo, es ist nicht Gmasterflash Augenzwinkern

28.06.2017, 19:20

kularuguno

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Aus Interesse nebenbei: Wer ist denn Gmasterflash und was hat er denn verbrochen? verwirrt

28.06.2017, 20:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von kularuguno
Wer ist denn Gmasterflash und was hat er denn verbrochen?

Stellt gern Fragen, die im Stil provokant, und vom Inhalt her ziemlich gaga sind. (Trifft auf deine erste Formulierung m.E. zu, auf die im zweiten Beitrag dann doch vorgenommene Konkretisierung zugegebenermaßen aber nicht mehr. Augenzwinkern

). Und das nur, um dann amüsiert zuzuschauen, wie sich die Leute einen abbrechen und versuchen, irgendwas sinnvolles aus den kruden Anfragen rauszulesen - ein Troll eben.

Zitat:

Original von kularuguno
In $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann man ja auch auf abgeschlossenen Intervallen differenzieren.

Im strengen Sinne nicht, auch im $\begin{align*} \mathbb{R}^1 \end{align*}$ erfordert Differenzierbarkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} x \end{align*}$ , dass $\begin{align*} x \end{align*}$ ein innerer Punkt des Definitionsbereiches von $\begin{align*} f \end{align*}$ ist. Du spielst vielleicht darauf an, dass man an Intervallrandpunkten von nur auf abgeschlossenen Intervallen definierten Funktionen dann manchmal die dort nur einseitig existierende Ableitung (links- oder rechtsseitig) definieren kann? Gewiss, aber das sind dann eben auch nur die links- oder rechtsseitige Ableitung, und nicht die Ableitung an sich.

Oder nehmen wir andere abgeschlossene Definitionsmengen, z.B. endliche Punktmengen im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , auf denen kannst du erst recht nicht differenzieren. unglücklich

28.06.2017, 20:33

kularuguno

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Also brauche ich offene Mengen, damit ich an einem Punkt differenzieren kann. Aber warum? Damit das mit der Tangente beim Grenzprozess funktioniert?

28.06.2017, 20:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von kularuguno
Aber warum?

Weil es so definiert ist. Das kann man gut finden oder nicht, aber es ist so.

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Natürlich könnte man Differenzierbarkeit auch "weicher" so definieren:

Zitat:

Die Funktion $\begin{align*} f:\;D\to \mathbb{R} \end{align*}$ ist im Punkt $\begin{align*} x_0\in D \end{align*}$ differenzierbar, wenn der Grenzwert

$\begin{align*} \lim_{\substack{x\to x_0\\ x\in D\setminus\{x_0\}}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{align*}$

existiert; damit dieser Grenzprozess überhaupt möglich ist möge zusätzlich gefordert werden, dass $\begin{align*} D\cap (U_{\varepsilon}(x_0)\setminus \{x_0\})\neq \emptyset \end{align*}$ für alle $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ gilt.

Diese "Erweiterung" würde angenehmerweise dann auch solche Fälle mit eingliedern, wo die rechtsseitige Ableitung am linken Definitionsintervallrandpunkt existiert, bzw. die linksseitige Ableitung am rechten Definitionsintervallrandpunkt.

Aber sie hat auch Nachteile: Betten wir die obige Funktion $\begin{align*} f:\;D\to \mathbb{R} \end{align*}$ in einen größeren Definitionsbereich ein, d.h., betrachten wir ein $\begin{align*} g:\;D'\to \mathbb{R} \end{align*}$ mit $\begin{align*} D\subset D'\subseteq \mathbb{R} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} g(x)=f(x) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\in D \end{align*}$ , so zieht die solchermaßen definierte Differenzierbarkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ nicht mehr notwendig die Differenzierbarkeit von $\begin{align*} g \end{align*}$ in $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ nach sich - Beispiel:

$\begin{align*} f:\; [0,\infty) \to \mathbb{R} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} g:\; \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align*}$ , beide mit Funktionsvorschrift $\begin{align*} f(x) = g(x) = |x| \end{align*}$ .

Nach der "erweiterten" Definition ist $\begin{align*} f \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ differenzierbar, $\begin{align*} g \end{align*}$ aber nicht.

Um solchen und ähnlichem Ärger aus dem Weg zu gehen, geht man doch auf Nummer Sicher und bevorzugt die strenge Definitionsvariante.

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