Gleichverteilung und Poisson-Prozess

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Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichverteilung und Poisson-Prozess
Hallo zusammen,

Ich bin mir nicht sicher, ob ich nachfolgendes Theorem richtig verstehe und möchte es an einer Aufgabe anwenden. Ich kenne die Lösung der Aufgabe, weiss aber nicht, ob meine Schritte richtig sind. Zuerst das Theorem:

Theorem: Sei ein Poisson-Prozess auf mit Intensität , so dass . Dann hat die Verteilung eines mixed binomial process mit mixing distribution und sampling distribution . Die bedingte Verteilung ist die eines Binomial-Prozesses mit sample size und sampling distribution .

(Anmerkung: Mixed binomial process bedeutet einfach, dass Zufallsvariablen und existieren, so dass wir schreiben können)

Aufgabe: Gegeben sei ein Poisson Punktprozess mit Intensität auf und . Weiter sei und Sprungzeiten . Was ist die bedingte Verteilung unter der Annahme, dass für ?

Lösung: Also ich weiss, dass die Verteilung gleichverteilt auf dem Interval ist. Hier mein Rechenweg:

Wir wenden das Theorem an. Es gilt und wir haben folgende Verteilung für die

Jetzt müssen wir bestimmen und erhalten

Somit sehen wir, dass die gleichverteilt auf verteilt sind.

Meine Fragen: Das Theorem ist so geschrieben, als ob man ganz betrachten müsste, aber dann kommt man ja niemals auf die gleichverteilung auf ? Muss ich also immer die Länge bis zum betrachteten Zeitpunkt nehmen?

Und stimmt meine Herleitung für das ganze bezüglich der Verteilung der ?

EDIT: Klammer vergessen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichverteilung und Poisson-Prozess
Ich fremdel ziemlich mit deiner Symbolik, habe mehrere reine Verständnisfragen dazu

1) Betrachtest du einen homogenen Poissonprozess, oder doch allgemeiner einen inhomogenen? Was bedeutet vs. ?

2) Das hier

Zitat:
Original von Dukkha

verstehe ich gar nicht, das ist wohl auch syntaktisch einiges in Unordnung.

3) Auch ist mir ein Buch mit sieben Siegeln. unglücklich
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichverteilung und Poisson-Prozess
Zitat:
Original von HAL 9000
Ich fremdel ziemlich mit deiner Symbolik, habe mehrere reine Verständnisfragen dazu

1) Betrachtest du einen homogenen Poissonprozess, oder doch allgemeiner einen inhomogenen? Was bedeutet vs. ?

2) Das hier

Zitat:
Original von Dukkha

verstehe ich gar nicht, das ist wohl auch syntaktisch einiges in Unordnung.

3) Auch ist mir ein Buch mit sieben Siegeln. unglücklich


Hi HAL 9000,

Habe die Notation so übernommen, aber du hast Recht, es sind Abkürzungen. Also:

1 & 3) Wir betrachten einen homogenen Poissonprozess. Wenn wir schreiben, bedeutet dass einfach, dass wir über das Intensitätsmaß einer nicht genauer bestimmten Menge sprechen. Also eigentlich für Mengen aus der -Algebra.

Das heisst bedeutet ein Wahrscheinlichketsmaß wobei du den Punkt durch Mengen ersetzt.

2) Das Gleiche für . Dort ist gemeint, die Wahrscheinlichkeit, dass in eine beliebige Menge/Ereignis fällt. Das heisst der Punkt steht für eine nicht weiter definierte Menge aus der -Algebra.

Also beispielsweise wir möchten die Wahrscheinlichkeit wissen, für aus der -Algebra.

EDIT: Sorry habe noch eine Klammer vergessen.
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichverteilung und Poisson-Prozess
Lieber HAL 9000,

Ich weiss nicht, ob du mein Edit gesehen hast. Ich hatte eine Klammer vergessen. Ansonsten findest du das Theorem (es heisst Proposition 3.8) hier: http://www.math.kit.edu/stoch/~last/seite/lectures_on_the_poisson_process/media/lastpenrose13052017.pdf#page=35. Es ist ziemlich weit am Anfang, zieht sich aber durch das ganze Skript smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Gemach, du lässt dir ja auch manchmal paar Tage Zeit. Augenzwinkern

Auf alle Fälle ist der Link mit dem Kontext hilfreich. Es gibt ja durchaus verschiedene Ansichten, was man als Poisson-Prozess bezeichnet: Bei dir ist es ein Punktprozess, andere wiederum sehen einfach das als Poisson-Prozess an. Das muss man sich bei deinem Eröffnungsbeitrag oben erst nach und nach aus dem Zusammenhang rekonstruieren, da hilft der Gesamttext schon weiter. Aber ich brauche noch ein bisschen, und im übrigen dürfen ja gern auch andere antworten.


EDIT: Doch noch eine Nachfrage, war bisher gar nicht soweit vorgedrungen:

Zitat:
Original von Dukkha
Was ist die bedingte Verteilung unter der Annahme, dass für ?

Bedingte Verteilung wovon? Wenn ich das Beispiel

Zitat:
Original von Dukkha
Also beispielsweise wir möchten die Wahrscheinlichkeit wissen, für aus der -Algebra.

richtig deute, dann meinst du die bedingte Verteilung von unter der Bedingung , d.h., die Bestimmung von für beliebige Borelmengen sowie natürliche Zahlen ? Naja, das würde ich aufteilen

,

und dann mal die bedingten Verteilungen der beiden Summanden rechts unter der Bedingung unter die Lupe nehmen. Bei der ersten hilft dein Theorem, bei der zweiten schlicht die Definition des Poissonprozesses.
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.

Also mit bedingter Verteilung ist gemeint die Verteilung der Sprungzeiten unter der Annahme, dass . Also konkret die Dichte von .

Die Lösung hierfür ist .

Für die Berechnung wird das genannte Theorem 3.8 verwendet um zu zeigen, dass der Poisson Punktprozess aus i.i.d. Zufallsvariablen mit Gleichverteilung auf bestehen. Weshalb die Gleichverteilt sind, verstehe ich aber nicht so recht. Das kommt von der Anzahl Anordnungen der . Die sind wiederum die geordnete Folge der
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dukkha
Das heisst bedeutet ein Wahrscheinlichketsmaß wobei du den Punkt durch Mengen ersetzt.

Bei dir ist das -fache des Lebesguemaßes sowie , damit folgt unmittelbar, dass die stetige Gleichverteilung auf ist - wo ist da das Problem? verwirrt
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Dukkha
Das heisst bedeutet ein Wahrscheinlichketsmaß wobei du den Punkt durch Mengen ersetzt.

Bei dir ist das -fache des Lebesguemaßes sowie , damit folgt unmittelbar, dass die stetige Gleichverteilung auf ist - wo ist da das Problem? verwirrt


Ich verstehe nicht recht, warum die Punkte jetzt wieder gleichverteilt sind und nicht exponential. unglücklich Die Verteilung der Jumps ist doch exponential verteilt? Oder sind sie nur dann gleichverteilt, wenn man bedingt auf ?

Selbst bei Wikipedia steht: "If the homogeneous point process is defined on the real line as a mathematical model for occurrences of some phenomenon, then it has the characteristic that the positions of these occurrences or events on the real line (often interpreted as time) will be uniformly distributed."
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dukkha
Oder sind sie nur dann gleichverteilt, wenn man bedingt auf ?

Genau das ist doch der Punkt, das gilt nur unter dieser Bedingung! Ohne diese Bedingung hätten wir ja nicht mal eine feste Punktanzahl (hier genannt), so dass wir gar nicht von der Verteilung eines Vektors reden könnten!

Genauso wie für die Anzahl (s.o.) eigentlich poissonverteilt mit Parameter ist, so ist doch deren Verteilung unter der Bedingung die Binomialverteilung .
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Dukkha
Oder sind sie nur dann gleichverteilt, wenn man bedingt auf ?

Genau das ist doch der Punkt, das gilt nur unter dieser Bedingung! Ohne diese Bedingung hätten wir ja nicht mal eine feste Punktanzahl (hier genannt), so dass wir gar nicht von der Verteilung eines Vektors reden könnten!

Genauso wie für die Anzahl (s.o.) eigentlich poissonverteilt mit Parameter ist, so ist doch deren Verteilung unter der Bedingung die Binomialverteilung .


Achso, jetzt verstehe ich das. Und aus der Beziehung erhält man dann das gewünschte. Super vielen Dank! Wink
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