Warum ist Z_12 eine zyklische Gruppe?

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Hilfloßbauen Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist Z_12 eine zyklische Gruppe?
Meine Frage:
Eine zyklische Gruppe ist ja nach Definition eine Gruppe, die von einem Element erzeugt wird.

ist zum Beispiel zyklisch. Aber warum? Sie hat (laut Internet) zwei Erzeuger: -1 und 1.

Oder : Warum ist diese Gruppe zyklisch? Anscheinend ist der Erzeuger hier 12, aber wie kann das sein? Ein Element da drin ist doch z.B. 6. Wie kann 6 als eine Potenz von 12 dargestellt werden?



Außerdem, wieso hat 12 Elemente? Warum nicht unendlich viele? Liegt das daran, dass man hier einen endlichen Körper betrachtet (steht dafür dann die 12 als Index?)

Meine Ideen:
Ich hab da irgendwie ein richtiges Verständnisproblem.

Ich glaube, es ist nur eine Kleinigkeit, die ich nicht verstehe, vermutlich ist es gar nicht so kompliziert.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit bezeichnet man den Restklassenring modulo n. Z.B. ist , wobei . Eine Restklasse enthält also alle Elemente, die bei Division durch n den gleichen Rest lassen. Und es gibt nur n mögliche Reste (nämlich 0, 1, ..., n-1), deswegen enthält genau n Elemente.

Du willst dir nur die additive Gruppe dieses Rings anschauen. Die Addition zweier Restklassen ist definiert durch .

(Beispiel mit n=4: )

Durch Addition von kannst du nun jede Restklasse in erhalten:





Genauso funktioniert das auch für jedes andere n.
D.h. ist Erzeuger von .
Es gibt aber noch mehr Erzeuger, z.B. .

Was aber nicht stimmt, ist, dass Erzeuger von ist. Es ist nämlich .
Außerdem ist kein Körper. ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist.
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