Auswahl von zufälligen Personen

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WaterWave Auf diesen Beitrag antworten »
Auswahl von zufälligen Personen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich knobel aktuell an einer Fragestellung und bräuchte etwas Unterstützung.

a.)
Aus einer Menge von 20 Personen werden zufällig 3 ausgewählt. Jede Person kann nur einmal ausgewählte werden. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine bestimmte Person ausgewählt wird? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

b.)
Aus einer Menge von 20 Personen werden zufällig 3 ausgewählt. Jede Person kann nur mehrfach (bis zu 3 mal) ausgewählte werden. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine bestimmte Person mindestens einmal ausgewählt wird? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.


Meine Ideen:
Insgesamt habe ich unterschiedliche Lösungsherangehensweisen, die unterschiedliche Ergebnisse produzieren.

zu. a)

Lösungsmöglichkeit 1:


Bei der Möglichkeit dachte ich mir, dass ich einfach die Wahrscheinlichkeiten aufaddiert werden, die eine Auswahl einer Person beschreiben.

Lösungsmöglichkeit 2:


Lösungsmöglichkeit 3:
Hypergeometrische Verteilung


Bin mir mehr als unsicher, ob ich die Hyergeometrische Verteilung hier anwenden darf.



Aufbauen von a.) müsste ich ja dann auch b.) lösen können. Der Unterschied besteht ja darin, dass in a.) es sich um ein Modell ohne zurücklegen handelt und in b.) mit zurücklegen.

Freue mich über Hinweise für den richtigen Weg smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Lösungsmöglichkeit 4:

Kann man auch über erklären, dieser Zugang ist dann auch eher übertragbar auf b). Augenzwinkern
WaterWave Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich mir das Leben wohl deutlich schwerer gemacht, als notwendig war.
Vielen Dank!

zu b.)

Es ist mir jetzt hier aber nicht so ganz klar, was ich als Zähler. Für Nenner habe ich die Kombinationsmöglichkeiten für mit zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge eingesetzt. Im Zähler brauche ich jetzt natürlich, die für meinen Fall günstigen Fälle. Das entspricht der Kombinationsmöglichkeiten, dass eine Person mindestens einmal gewählt wird.

Meine Idee:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, aber das ist ein häufig begangener Irrtum.

Richtig bei b) ist .

Dabei gehe ich davon aus, dass die drei Auswahlen aus 1..20 unabhängig voneinander vorgenommen werden, sozusagen dreimal würfeln mit einem 20seitigen Würfel - oder einmal würfeln mit drei 20seitigen Würfeln, das hat stochastisch denselben Effekt.
WaterWave Auf diesen Beitrag antworten »

mhm.

würde stimmen, sofern jeder Ausgang gleichwahrscheinlich ist --> Laplace

Aber in unserem Fall ist es ja "ausgewählt werden" gegenüber "nicht ausgewählt werden", was nicht der gleichen Wahrscheinlichkeit entspricht.

Was mich an deiner Lösung "stört" ist, dass du die Formel einsetzt. Diese kenne ich aber nur in dem Kontext mit zurücklegen (ist ja korrekt) und mit Berücksichtigung der Reihenfolge (was nicht korrekt ist).
Was mir vielleicht auf die Sprünge helfen würde, wäre eine andere Rechnung die das gleiche Ergebnis darstellt. Kennst du noch einen anderen Lösungsweg?

Deine Erläuterung mit dem Würfel verstehe ich und deine Annahme ist aus meiner Sicht auch korrekt.



Nochmal zu a.)

Lasse ich bei der Lösungsmöglichkeit 4 nicht vollkommen ausser Acht, dass man nur einmal gewählt werden kann und somit sich die Wahrscheinlichkeiten verändern im Zuge der Auswählungen?

Vielen Dank für Deine Unterstützung!
WaterWave Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Anmerkung zu Lösungsvorschlag 4 ist hinfällig, habe es nochmal auf einem anderen Weg probiert und auch das Ergebnis bekommen smile

 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WaterWave
Deine Erläuterung mit dem Würfel verstehe ich

Na irgendwie doch nicht, denn hier liegt dieselbe Situation vor: Nur mit einem 20- statt 6-seitigen Würfel. Insofern sollten deine Bedenken verschwunden sein, wenn du die Erläuterungen im verlinkten Beitrag wirklich verstanden hättest.
WaterWave Auf diesen Beitrag antworten »

Wir werfen exemplarisch einen 20 seitigen Würfel drei mal hintereinander, soweit komme ich voll mit.

entspricht ja natürlich

Annahme 1: entspricht der Wahrscheinlichkeit nicht die gewünschte Zahl zu bekommen oder nciht ausgewählt zu werden.

Annahme 2:Wenn wir nun berechen, dann berechen wir die Wahrscheinlichkeit, dass man in drei hintereinader ausgeführten Würfen seine gewünschte Zahl nicht bekommen oder die Person nicht gewählt wird.

Annahme 3: Da wir ja berechen, dann berechnen wir die Gegenwahrscheinlichkeit von Annahme zwei, als das eine Person dreimal gewählt wird. Die Annahme 3 kann aber ja irgendwie nicht stimmen. Wir wollen ja ausrechnen, dass eine bestimmte Person mindestens einmal gewählt wird.

Ich stehe auf dem Schlauch...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
seltsam verquere Logik, die du da pflegst...
Zitat:
Original von WaterWave
Die Annahme 3 kann aber ja irgendwie nicht stimmen. Wir wollen ja ausrechnen, dass eine bestimmte Person mindestens einmal gewählt wird.

Wieso soll das nicht stimmen? Das Gegenteil von "mindestens eins" bei Anzahlen ist doch "keins".
WaterWave Auf diesen Beitrag antworten »
RE: seltsam verquere Logik, die du da pflegst...
Stimmt hast Recht.

Das Gegenteil von keins ist mindestens eins. Hatte im Kopf Blockade, dass das gegenteil alles ist oder sowas in die Richtung.

Vielen Dank!
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