Injektivität einer mehrdimensionalen Funktion

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Hans7530 Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität einer mehrdimensionalen Funktion
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich möchte gerne zeigen dass



injektiv ist, ich vermute derzeit einfach das die Funktion injektiv ist, da ich noch kein Gegenbeispiel gefunden habe.


Meine Ideen:
Ich weiß, dass man bei Funktionen mit einer Variable einfach sagt das es ein x1 und x2 gibt bei denen f(x1) und f(x2) gleich sind und das dann f(x1) und f(x2) mit den selben Rechenschritten umgeformt werden bis dort x1=x2 steht (falls die Funktion wirklich injektiv ist). Aber wie übertrage ich das nun auf diese mehrdimensionale Funktion, vor allem wie würde ich dort meine Rechenschritte anwenden das am Ende x1=x2 dort steht?

Es ist ja auch z.B. so dass f(-1,1)=(1,-e) ist und f(1,1)=(1,e) dort ist ja nun eine Koordinate der Zielmenge gleich obwohl ein anderes x verwendet wurde. Aber durch die zweite Koordinate ist es dann ja wieder ein anderer Punkt...

Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du Injektivität zeigen willst, müsstest du zeigen, dass aus folgt, dass und .

Die Funktion ist allerdings gar nicht injektiv:

Es ist .

( ist die Lambertsche W-Funktion.)
Hans7530 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay... damit hätte ich jetzt nicht gerechnet... Ich verstehe nicht so ganz wie diese Lambertsche W Funktion in die r und t Werte kommt.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir suchen mit und . Die letzte Gleichung nach umgestellt ergibt ; das wird in die erste Gleichung eingesetzt und gekürzt:

, bzw. .

Für diese Gleichung findet man Lösungen , weil nicht injektiv auf ist. Deswegen habe ich gesetzt und das dann passend dazu bestimmt.

Damit brauchen wir jetzt noch passende Werte , damit auch erfüllt ist: Da habe ich einfach willkürlich gesetzt, und daraus ergibt sich dann .
Hans7530 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm jetzt mal eine ganz dumme Frage... Wie kann ich dann

nach t2 auflösen?
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