Winkel zwischen zwei Vektoren

30.06.2017, 17:57

leni1995

Winkel zwischen zwei Vektoren

Meine Frage:

Die Vektoren c = a+b und d = a - 2b

haben die Normen ||c|| = Wurzel 91 und ||d|| = Wurzel 109

das Skalarprodukt von c und d = -62

berechnen sie für a und b die normen ||a||, ||b|| und den Winkel zwischen a und b.

Meine Ideen:
Wie funktioniert das mit den beträgen?

kann ich einfach ||a|| + ||b|| = Wurzel 91
und ||a|| - ||2b|| = Wurzel 109 machen?

Das geht nicht so einfach oder? Stichwort Dreiecksungleichung

und dann mittels Lgs lösen?

30.06.2017, 21:17

mYthos

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Zitat:

Original von leni1995
...
kann ich einfach ||a|| + ||b|| = Wurzel 91
und ||a|| - ||2b|| = Wurzel 109 machen?
...

Das wäre, wie du schon vermutet hast, ein schwerer Fehler, Sakrileg in der Hochschule! Augenzwinkern

Zitat:

Original von leni1995
...
und dann mittels Lgs lösen?

So ist es! (u.U. nach entsprechender Substitution)

Verwende die Tatsache, dass für Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec v , \vec w \end{eqnarray*}$ und die Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray*} "\cdot" \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} ||\vec v||^2 = |\vec v|^2 = \vec v \cdot \vec v = \vec v^2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (\vec v + \vec w)^2 = \vec v^2 + 2 \cdot \vec v \cdot \vec w + \vec w^2 \end{eqnarray*}$

Für die Skalarmultiplikation gilt das Kommutativ- und Distributivgesetz.
-------------------------

Somit ist für dein Beispiel (a, b, c, d sind Vektoren):

$\begin{eqnarray*} [c^2 = ](a + b)^2 = 91 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [d^2 = ](a - 2b)^2 = 109 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [c \cdot d = ](a + b) \cdot (a - 2b) = -62 \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------------------

Aus diesen 3 Gleichungen berechne zunächst $\begin{eqnarray*} a^2, b^2 \text{ und } a \cdot b \end{eqnarray*}$
Beträge, Skalarprodukt und Winkel folgen dann leicht daraus.

[ |a| = 5, |b| = 6, a.b = 15, .. ]

mY+

01.07.2017, 12:40

leni1995

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Vielen vielen Dank smile

du warst eine große Hilfe

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