Verständnis mehrdimensionale Stetigkeit

30.06.2017, 19:09	Manuel7237	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnis mehrdimensionale Stetigkeit Warum schreibt man bei Stetigkeitsuntersuchung von 2 Variablen $\begin{eqnarray} \|f(x,y)-f(0,0)\| \end{eqnarray}$ den Betrag und nicht die Norm also: $\begin{eqnarray} \|\|f(x,y)-f(0,0)\|\|_2 \end{eqnarray}$
30.06.2017, 19:40	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil man oft auch im mehrdimensionalen $\begin{eqnarray} \|\cdot \| \end{eqnarray}$ für die Euklidische Norm schreibt.
30.06.2017, 19:59	Manuel7237	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum darf man das? Die Norm wäre dann die korrektere Darstellung?
30.06.2017, 20:12	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte man das nicht dürfen? Man hat diese Schreibweise eben irgendwann mal eingeführt und dann darf man sie auch benutzen. Es gibt da kein "richtig" oder "falsch"; genauso wie Definition nicht richtig oder falsch sein können.
30.06.2017, 21:35	Manuel7237	Auf diesen Beitrag antworten »
Man verwendet man \|\|.\|\| oder \|.\|?
01.07.2017, 09:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bitte?
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01.07.2017, 11:28	Manuel7237	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vllt ist die Frage blöd: Was ist der Unterschied zwischen Betrag und Norm?
01.07.2017, 17:53	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mit beiden Schreibweisen das gleiche meinst und das auch so definierst, ist es völlig egal, was davon du benutzt.
01.07.2017, 18:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal etwas ausführlicher: Der Betrag ist eine ganz spezielle Norm auf den reellen Zahlen. Es ist der Spezialfall der euklidischen Norm für $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ . Um genau zu sein der Spezialfall aller $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -Normen. Und bis auf ein Vielfaches ist es die einzige Norm auf den reellen Zahlen. D.h. fuer jede Norm $\begin{eqnarray} \\| \cdot \\| \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} \lambda > 0 \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} \\| x \\| = \lambda \|x\| \end{eqnarray}$ fuer alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . ( $\begin{eqnarray} \lambda = \\|1\\| \end{eqnarray}$ uebrigens). Zu deinem urspruenglichen Problem. Deine Funktion haengt zwar von $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ Variablen ab, aber du hast nicht gesagt wohin sie abbildet. Wenn sie reellwertig ist, z.B. $\begin{eqnarray} f(x,y) = x+ y \end{eqnarray}$ , so meinen die Betragsstriche den 'normalen' Betrag. Falls sie in $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ abbildet, meint man konventiell die eukldische Norm. Schliesslich ist es nicht wirklich wichtig, welche Norm man da nimmt. Als endlich-dimensionaler Vektorraum ist $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ziemlich langweilig. Nicht so langweilig wie $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ wo es bis auf das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ nur eine Norm gibt, aber dennoch. Denn alle Normen sind äquivalent. D.h. eine Funktion ist bgl. $\begin{eqnarray} \\| \cdot \\| \end{eqnarray}$ beliebig, genau dann stetig, wenn sie bzgl. der euklidischen Norm stetig ist. Daher ist man nicht zu penibel bei solchen Notationen.

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