Kreis im Raum

01.07.2017, 08:17

hibu

Kreis im Raum

Meine Frage:
Hallo

Ich habe ein Koordinatensystem x,y,z
und einen Kreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M(0/0/0)
dann gibt es noch einen höchsten Punkt (in z Richtung)
z(max)=h an der Stelle mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} -\varphi_0 \end{eqnarray*}$ in der x y Ebene

Diesen Kreis will ich jetzt mathematisch beschreiben

Ich habe folgende Idee
$\begin{eqnarray*} x=a\cos(\varphi ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=b\cos(\varphi ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=h\cos(\varphi+\varphi_0) \end{eqnarray*}$

Aber für a und b gibt es anscheinend keine Lösung

das hatte ich gedacht

$\begin{eqnarray*} a= \sqrt{r^2-h^2\cos^2(\varphi_0)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b= \sqrt{r^2-h^2\sin^2(\varphi_0)} \end{eqnarray*}$

aber dann stimmt das nicht

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$
wenn ich richtig gerechnet habe

Kann mir jemand weiterhelfen?

Viele Grüße

Meine Ideen:
siehe oben

01.07.2017, 16:10

mYthos

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Der Kreis hat doch den Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und er liegt - denke ich - in einer (beliebigen, "schiefen") Ebene, NICHT in einer Koordinatenebene ....
Dann fragt sich, was bei dir die Größen a, b und phi sein sollen.
-------------
Verwende eher die Parameterform des Kreises in $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ , beschrieben bei

--> Kreisgleichung für R^3

--> Kreisbogen Interpolation

mY+

02.07.2017, 10:28

hibu

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Zitat:

Original von mYthos
Dann fragt sich, was bei dir die Größen a, b und phi sein sollen.

a und b sind gesucht.Wobei ich vermute,dass es die nicht exakt gibt
Bei kleinem h ist a und b nährungsweise der Radius
phi ist der Winkel in der x y Ebene
hier der Kreis in der x y Ebene
$\begin{eqnarray*} x=r\cos(\varphi ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=r\sin(\varphi ) \end{eqnarray*}$

ich habe noch einen Fehler entdeckt

$\begin{eqnarray*} x=a\cos(\varphi ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=b\sin(\varphi ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=h\cos(\varphi+\varphi_0) \end{eqnarray*}$

ich hatte bei y auch cos geschrieben

wenn man das nimmt
X = M + U*cos(t) + V*sin(t)

$\begin{eqnarray*} U=\begin{pmatrix} \sqrt{r^2-h^2} \cdot cos(\varphi_0) \\ \sqrt{r^2-h^2} \cdot sin(\varphi_0) \\ h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
U ist dann der höchste Punkt auf dem Kreis (wenn man die z Koordinate als Höhe bezeichnet)

Ich glaube ich habs jetzt

$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{r^2-h^2}\cos(\varphi_0 ) \cos(\varphi-\varphi_0 ) -r \sin(\varphi_0 ) \sin(\varphi-\varphi_0 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_1=\sqrt{r^2-h^2}\sin(\varphi_0 ) \cos(\varphi-\varphi_0 ) +r \cos(\varphi_0 ) \cos(\varphi-\varphi_0 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_1=h\cos(\varphi-\varphi_0 ) \end{eqnarray*}$

Danke und Gruß

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