Integral: Polarkoordinaten oder noramles Koordinatensystem

01.07.2017, 11:20

mastersheet

Integral: Polarkoordinaten oder noramles Koordinatensystem

Meine Frage:
Hallo liebe Community,
bei mir steht bald eine Mathe-Klausur an und habe dazu eine Frage:
Stoffgebiet ist unter anderem Integration, d. h. es müssen Integrale per Hand gelöst werden.

Nun wollte ich wissen, wann ich bei Mehrfachintegralen nun durch Substitution mit Polarkoordinaten rechnen kann/muss und wann "normal".
Mir ist nicht ganz klar wann welche Methode von Vorteil ist, bzw. wann mittels Substitution integriert werden muss.

Im Konkreten bin ich vor dem Problem bei diesem Beispiel gestanden.
$\begin{eqnarray*} \int_{A} \! \dfrac{x \cdot y}{\sqrt{x^2 + y^2} }}{\ \, dx dy \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} A=\{\{x y\} \in \mathbb{R}^2 \ \ :\ \ 1 \leq x^2+y^2\leq 9; y\geq 0; y\geq \sqrt{3}x\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Würde ich das herkömmlich lösen bekäme ich für das bestimme Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{1/2}^{3/2} \! \int_{\sqrt{3}x}^{\sqrt{9-x^2}} \! \dfrac{x \cdot y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dx dy \end{eqnarray*}$
für das Innere Integral:
$\begin{eqnarray*} 3x-2x^2 \end{eqnarray*}$
und für das äußere:
$\begin{eqnarray*} \dfrac{3x^2}{2}-\dfrac{2x^3}{3} \end{eqnarray*}$

Kann ich diese Beispiel herkömmlich lösen, oder muss ich hier mit Polarkoordinaten substituieren?

01.07.2017, 12:00

Guppi12

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Man "muss" niemals irgendwas machen, die Frage ist immer, ob es sinnvoll ist, mit Polarkoordinaten zu rechnen. Man muss immer bedenken, dass sich beim Koordinatenwechsel sowohl das Integrationsgebiet als auch der Integrand transformiert. Wenn Integrand und/oder Integrationsgebiet in Polarkoordinaten einfacher zu beschreiben sind (das ist meist dann der Fall, wenn es irgendwelche Rotationssymmetrien gibt), dann ist es nützlich sie zu verwenden, sonst eben nicht.

Wenn du dir in diesem Fall mal dein Integrationsgebiet aufmalst, wirst du sehen, dass sich dieses in Polarkoordinaten sehr einfach beschreiben lässt, deswegen sollte es hilfreich sein, sie hier zu verwenden.

Was deine bisherige Rechnung anbelangt, kann ich nur sagen, dass das nicht stimmt, da ich nicht weiß, wie du auf diese Grenzen gekommen bist.

01.07.2017, 12:43

mastersheet

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Zitat:

Was deine bisherige Rechnung anbelangt, kann ich nur sagen, dass das nicht stimmt, da ich nicht weiß, wie du auf diese Grenzen gekommen bist.

Bzgl. der Grenzen: Könntest du mir einen Tipp geben was nicht stimmt Big Laugh

Bin das Problem jetzt per Polarkoordinaten angegangen, als Grenzen erhalte ich für
$\begin{eqnarray*} x=r\cdot cos(\varphi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=r\cdot sin(\varphi) \end{eqnarray*}$
dementsprechend
$\begin{eqnarray*} 1 \leq r \leq 9 \end{eqnarray*}$

nur jetzt hänge ich mit den zweiten Bedingungen fest.. Aus
$\begin{eqnarray*} y \geq 0 \ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ y \geq \sqrt{3}x \end{eqnarray*}$
bekomme ich diese wunderbare Konstrukt:
$\begin{eqnarray*} 0 \leq cos(\varphi) \leq \dfrac{sin(\varphi)}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Kann das überhaupt stimmen, und wie komme ich von dem auf mein Grenzen für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ?

Tut mir Leid für mein Unverständnis, Mathe ist nicht meine Stärke..

01.07.2017, 12:58

Guppi12

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Du solltest dir das Gebiet mal aufzeichen, das habe ich nicht nur aus Jux gesagt Augenzwinkern

Zeichnerisch sind die Bedingungen viel leichter zu verstehen. $\begin{eqnarray*} 1 \leq r \leq 9 \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig. Was zwischen diesen Grenzen steht, ist nicht $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Du kannst zum Beispiel damit anfangen, den Kreisring einzuzeichnen, um den es geht. Danach nimmst du den unteren Teil davon weg. Danach kannst du dir noch die Gerade $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{3}x \end{eqnarray*}$ einzeichnen und gucken, was alles darüber liegt.

Zitat:

Bzgl. der Grenzen: Könntest du mir einen Tipp geben was nicht stimmt Big Laugh

Es wäre einfacher, wenn du mir sagst, wie du auf diese Grenzen gekommen bist. Dann kann ich dir sagen, was falsch ist. Unter anderem gibt es in deinem Integrationsbereich keine negativen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte, in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aber schon. Da kann also was nicht stimmen. Was genau du falsch gemacht hast, kann ich dir nur sagen, wenn du erzählst, was du überhaupt gemacht hast.

01.07.2017, 14:24

mastersheet

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Den Intergrationsbereich aufgezeichnet hab ich mir: goo.gl/TxScXV
Wolfram Alpha hat dazu auch die selbe Grafik ausgespuckt.

Nur werde ich jetzt aus der Erkenntnis nur geringfügig schlauer, wie ich heir auf meine Integrationsgrenzen komme...

Du hast natürlich recht, die Intergrationsgrenzen sind in beiden Fällen falsch, danke schon mal für das Big Laugh

Meine Vorgangsweise bis jetzt:
Wie oben beschrieben habe ich x und y durch Polarkoordinaten ersetzt:
$\begin{eqnarray*} x=r \cdot cos(\varphi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=r \cdot sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

Damit erhalte ich dementsprechend:
$\begin{eqnarray*} 1 \leq x^2+y^2 \leq 9 \rightarrow 1 \leq r^2 \cdot cos^2(\varphi) +r^2 \cdot sin^2(\varphi) \leq 9 \end{eqnarray*}$

vereinfach ( $\begin{eqnarray*} cos^2(\varphi) +sin^2(\varphi) = 1 \end{eqnarray*}$ ) erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq r^2 \leq 9 \end{eqnarray*}$ (da habe ich wohl vorher vergessen die Wurzel 9 zu ziehen, pardon :p)

Dann setzte ich noch für $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \geq \sqrt{3}*x \end{eqnarray*}$ x und y ein und bekomme dann:
$\begin{eqnarray*} r \cdot sin(\varphi) \geq 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} r \cdot sin(\varphi) \geq \sqrt{3} \cdot r \cdot cos(\varphi) \rightarrow sin(\varphi) \geq \sqrt{3} \cdot cos(\varphi) \end{eqnarray*}$

Nun stellen sich folgenden Fragen: Wie komme ich auf meine Grenzen fürs r und wie auf die für Phi. Kann ich einfach die Wurzel beider Zahlen ziehen, und müsste ich dann nciht +- 3 erhalten?
$\begin{eqnarray*} 1 \leq r \leq \pm 3 \end{eqnarray*}$
Selbst wenn das stimmt, was würde ich mich +-3 machen und wie gehe ich dann beim Phi vor?

Die Grenzen finden stellt mich wohl vor größeren Herausforderungen als das eigentliche Integral...
Danke nochmal für die Hilfe bis jetzt smile

EDIT: Durchs aufzeichen würde ich sagen mein $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ liegt zwischen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dfrac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ , nur rechnerisch ermitteln kann ich das irgendiwe nicht...

01.07.2017, 16:16

Guppi12

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An der Skizze kannst du doch direkt erkennen, dass weder der Winkel von r abhängt, noch umgekehrt, du hast einfach sowohl für den Winkel, als auch für r jeweils feste Intervalle. $\begin{eqnarray*} 1\leq r\leq 3 \end{eqnarray*}$ ist richtig. Jetzt musst du nur noch den Winkelbereich bestimmen. Um den Startwinkel zu bestimmen, mal dir ein Steigungsdreieck der Geraden ein und verwende die geometrische Definition des Tangens.

01.07.2017, 17:11

mastersheet

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Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann beginne ich mit
$\begin{eqnarray*} r \cdot sin(\varphi) \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r \cdot sin(\varphi) \geq \sqrt{3} r \cdot cos(\varphi) \end{eqnarray*}$

Daraus forme ich um:
$\begin{eqnarray*} \dfrac{r \cdot sin(\varphi)}{r \cdot cos(\varphi)} \geq \sqrt{3}r \end{eqnarray*}$

Da den trigonometrischen Funktionen nach der sin/cos den tang ergibt schreibe ich:
$\begin{eqnarray*} tan(\varphi) \geq \sqrt{3} r =\dfrac{AK}{GK} \end{eqnarray*}$
und mitr $\begin{eqnarray*} AK = r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow tan(\varphi) \geq \sqrt{3} r =\dfrac{r}{GK} \end{eqnarray*}$

Damit erhalte ich dann:
$\begin{eqnarray*} tan(\varphi) \geq \sqrt{3} =\dfrac{1}{GK} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \varphi \geq atan(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ was am EH-Kreis dann ja $\begin{eqnarray*} 60° \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \pi/3 \end{eqnarray*}$ entspricht smile

Durch die Begrenzung von $\begin{eqnarray*} r \cdot sin(\varphi) \geq 0 \end{eqnarray*}$ erhalten ich dann:
$\begin{eqnarray*} \dfrac{\pi}{3} \leq \varphi \leq \pi \end{eqnarray*}$

Kann ich das so angehen?
Danke und LG!

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