Orthogonale Potenzen von Endomorphismen

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zinR Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Potenzen von Endomorphismen
Hi.

Gegeben sei ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum . (D.h. ist ein Skalarprodukt.) Sei mit orthogonal bzgl. , d.h.
.

Zu zeigen ist orthogonal bzgl. .

In einem Hinweis ist angegeben, dass wir betrachten sollen.

Das einzige, was ich hier bisher gesehen habe, ist, dass orthogonal bezüglich ist.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen? smile
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du bereits etwas über die Existenz von Orthonormalbasen bzgl Skalarprodukten?
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja, das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren liefert solche Basen.

Ich glaube, ich bin damit einen großen Schritt weiter. (Vielleicht sogar fertig?)

Danke schonmal! Ich formalisiere kurz, und melde mich dann nochmal.
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren nehmen wir eine ONB bezüglich und ONB bezüglich .
Dann einen Basiswechselisomorphismus .

Ich habe dann gezeigt, dass :
(I)
(II) .

Da die beiden Rechnungen komplett analog gehen, schreibe ich hier nur (I), damit Du überprüfen kannst, ob ich das richtig mache:

Es seien , also .

Dann (verkürzt) mit der Linearität von und der Bilinearität von :

.

Ich hoffe, die Schritte sind nachvollziehbar und richtig.

Jedenfalls erhält man damit:
, wobei die Orthogonalität von bezüglich verwendet wurde.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut Freude

Noch ein paar Tipps zum Abkürzen:

Aus (I) folgt , also brauchst du (II) nicht nochmal getrennt zeigen.

Es reicht, (I) für Vektoren nachzuweisen. Dein Beweis zeigt das. Genau wie lineare Abbildungen gleich sind, wenn sie auf einer Basis übereinstimmen, sind multilineare Abbildungen gleich, wenn sie auf beliebigen Tupeln einer Basis übereinstimmen.

Das muss man sich natürlich einmal überlegen. In Zukunft spart es dann aber Zeit.
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja. Das sieht eleganter aus. Danke dafür smile

Auch danke für den letzten Hinweis - ich dachte mir schon, dass das so sein sollte, der entscheidende Punkt in der Rechnung ist ja genau die Aussage (I) für .
 
 
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