Bedeutung dieser Teilmenge

01.07.2017, 19:01

boris602

Bedeutung dieser Teilmenge

"Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Seien $\begin{eqnarray*} \left\{ e_i \right\} 1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ eine Basis von V und $\begin{eqnarray*} b_i \in K : 1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ . Betrachten Sie die Teilmenge $\begin{eqnarray*} U:= \left\{ \sum\limits_{i=1}^{n} a_ie_i : \sum\limits_{i=1}^{n} a_ib_i=0\right\}\subset V \end{eqnarray*}$ " . Komme hier nicht so ganz mit der Bedeutung des zweiten Summenzeichens zurecht. Das erste bezieht sich auf die kanonischen Einheitsvektoren, aber weshalb $\begin{eqnarray*} a_ib_i=0 \end{eqnarray*}$ ist mir ein Rätsel ,bzw weiß ich nicht was ich damit anfangen soll. Wäre nett wenn jemand sagen könnte wofür dieses $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ zu gebrauchen ist und was dieses Aussage nun konkret bedeutet.

01.07.2017, 19:13

Helferlein

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Die $\begin{align*} b_i \end{align*}$ sind einfach nur Gewichte, so dass die Summe insgesamt Null ergibt.
Für $\begin{align*} b_1=b_2=1 \end{align*}$ ergäbe sich z.B. $\begin{align*} a_1=-a_2 \end{align*}$ .
Die $\begin{align*} e_i \end{align*}$ sind laut deiner Angabe auch nicht zwangsläufig die kanonischen Einheitsvektoren, sondern irgendwelche Basisvektoren.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \left\{ e_i \right\}_{1\leq i\leq n} \end{eqnarray*}$ eine Basis von V

01.07.2017, 19:15

klarsoweit

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RE: Bedeutung dieser Teilmenge
U besteht eben nicht aus allen möglichen Vektoren, sondern nur aus solchen, wo die Summe der a_i * b_i = 0 ist.

01.07.2017, 19:22

boris602

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sollen schon die kanonischen Einheitsvektoren seien, konnte bloß nicht die richtige latexschreibweise finden

01.07.2017, 19:48

klarsoweit

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Bedenke, dass a * b das Skalarprodukt ist. Somit sollte klar sein, was die Menge U ist.

01.07.2017, 20:04

boris602

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$\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ ist doch lediglich ein $\begin{eqnarray*} \in K \end{eqnarray*}$ . Warum soll $\begin{eqnarray*} a_ib_i \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt seien? Es können ja 2 beliebige Zahlen seien und 0 ergeben die nur wenn einer von denen 0 ist.Mir fehlt einfach der Zusammenhang mit den kanonischen Einheitsvektoren, zumindest wird dieser mir nicht wirklich klar.

01.07.2017, 20:56

Helferlein

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klarsoweit sprach von $\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} \end{align*}$ , nicht von $\begin{align*} a_i \cdot b_i \end{align*}$

02.07.2017, 11:18

boris602

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Das Skalarprodukt hatten wir nur in der Schule aber nicht an der Uni, also kann es das definitiv nicht seien. Wir hatten bisher nur die "skalare Multiplikation" bei Vektoren. In anderen Worten, $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ kann mit Sicherheit kein Vektor seien, da das erste Summenzeichen lediglich die skalare Multiplikation mit einem kanonischen Einheitsvektor zeigt.

Hätte ein wenig früher was dazu sagen sollen, aber ich habe leider sehr vieles aus meiner schulzeit vergessen, weshalb ich nicht so ganz verstand, was genau damit gemeint seien soll dass $\begin{eqnarray*} a_ib_i =0 \end{eqnarray*}$ seien sollen, aber es hat es hat wie gesagt nichts damit zu tun

02.07.2017, 18:05

Helferlein

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Noch einmal: Niemand hat behauptet, dass $\begin{align*} a_i\cdot b_i \end{align*}$ ein Skalarprodukt darstellt. Es wurde lediglich behauptet, dass mit $\begin{align*} a=\left(a_1, a_2, a_3, ... , a_n \right) \end{align*}$ und $\begin{align*} b=\left(b_1, b_2, b_3, ... , b_n \right) \end{align*}$ deine Menge U auf die Gestalt $\begin{align*} U=\{\sum_{k=1}^n a_i e_i | ab=0\} \end{align*}$ gebracht werden kann.

Unabhängig davon, ob ihr das in der Vorlesung schon hattet, sollte es Dir helfen eine Vorstellung der Menge zu bekommen. Nicht alles wird im Studium hergeleitet, bevor es verwendet werden darf. Ein gewisses Grundwissen, das in der Schule vermittelt wurde, kann durchaus vorausgesetzt werden. Überspitzt formuliert: Das kleine Einmaleins wird in keiner Vorlesung vorkommen, es darf aber trotzdem schon in der ersten Übung angewendet werden. Das Thema Skalarprodukt wird zwar noch behandelt, aber eher in allgemeiner Form. Das spezielle euklidische Skalarprodukt wird dann nur als bekanntes Beispiel herhalten.

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