primzahl

01.07.2017, 21:55	ahnungslos hoch 10	Auf diesen Beitrag antworten »
primzahl Meine Frage: $\begin{eqnarray} p \in \mathbb P , p\geq 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a)\sum\limits_{k=1}^{p-1} \frac{(p-1)!}{k}\equiv 0(mod p^2) \end{eqnarray}$ Betrachte dazu $\begin{eqnarray} p \in \mathbb P \end{eqnarray}$ ,so ist jeder koeffizien des Polynoms $\begin{eqnarray} f(x)=(x-1)(x-2)....(x-p+1)-x^{p-1}+1 \in \mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ teilbar. Meine Ideen: kann mir jemand einen tip geben,wie ich das alles verwursten kann zu einem korrekten beweis? betrachte ich beispiel zur verständnis p=5 $\begin{eqnarray} f(x)=(x-1)(x-2)....(x-5+1)-x^{5-1}+1=(x-1)(x-2)....(x-6)-x^{4}+1 \end{eqnarray}$ , wo sind denn hier die koeffizienten? muss man nicht erst noch alles aus multiplizieren ,um die koeffizienten zu finden? andere möglichkeit: $\begin{eqnarray} f(x)=(x-1)(x-2)....(x-p+1)-x^{p-1}+1 =\prod\limits_{k=1}^{p+1} (x-k)-x^{p-1}+1 =? \end{eqnarray}$ aber jetzt hab ich irgendwie lkeinen plan mehr,bzw. je einen gehabt..:/
02.07.2017, 08:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na bringen wir erstmal deine Beispielrechnung in Ordnung: $\begin{align} (x-1)(x-2)\cdot \ldots \cdot (x-p+1) \end{align}$ enthält nicht $\begin{align} (p+1) \end{align}$ , sondern nur $\begin{align} (p-1) \end{align}$ Faktoren. D.h., für $\begin{align} p=5 \end{align}$ lautet das angegebene Polynom $\begin{align} f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-x^4+1 \end{align}$ , was ausmultipliziert und vereinfacht $\begin{align} f(x)=-10x^3+35x^2-50x+25 \end{align}$ ergibt, wo tatsächlich jeder Koeffizient durch 5 teilbar ist.
02.07.2017, 14:59	ahnungslos hoch 10	Auf diesen Beitrag antworten »
also nehm ich mir jetzt das polynom $\begin{eqnarray} f(x)=(x-1)(x-2)....(x-p+1)-x^{p-1}+1 \in \mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ und multpilziere es aus,damit ich dann die koeffizienten bekomme und dann? mein beispiel hat mir irgendwie nach deiner korrektur gezeigt,dass alle koeffizienten durch 5 teilbar sind,aber was bringt mir das jetzt? lg
03.07.2017, 00:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ich weiß auch nicht, wie der Beweis geht. Auf jeden Fall ist $\begin{align} f \end{align}$ ein Polynom $\begin{align} (p-2) \end{align}$ -ten Grades, d.h., $\begin{align} f(x) = \sum_{k=0}^{p-2} a_k x^k \end{align}$ , und wir wissen gemäß kleinem Fermat, dass $\begin{align} f(x)\equiv 0\bmod p \end{align}$ mindestens die $\begin{align} (p-1) \end{align}$ Lösungen $\begin{align} 1,\ldots,p-1 \end{align}$ besitzt. Nach dem (zahlentheoretischen)Satz von Lagrange sind dann alle $\begin{align} a_k \end{align}$ durch $\begin{align} p \end{align}$ teilbar (im Falle von $\begin{align} a_0 \end{align}$ ist das hier bei diesem $\begin{align} f \end{align}$ der Satz von Wilson). Nur reicht das leider nicht, denn die Behauptung a) ist äquivalent zu $\begin{align} p^2 \mid a_1 \end{align}$ , wir haben bisher aber nur $\begin{align} p \mid a_1 \end{align}$ , und den fehlenden Baustein sehe ich gerade nicht. Muss wohl ein Experte mit größerem zahlentheoretischen Durchblick ran.

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