Poisson cluster Process

01.07.2017, 22:37	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson cluster Process Hallo zusammen, Ich habe Verständnisprobleme zur folgenden Aufgabe bzw. zur Lösung. Meine Fragen habe ich in der Lösung eingebaut: Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \mathbf{X} \end{eqnarray}$ ein beliebiger Raum und $\begin{eqnarray} \mathbf{N} \end{eqnarray}$ der Raum aller Zählmaße. Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Übergangskern von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ ein proper Poisson point process (d.h. es existieren Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_1,X_2\dots \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} \eta=\sum_{i=1}^\kappa \delta_{X_i} \end{eqnarray}$ ) mit Intensitätsmaß $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbf{X} \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -markierter Prozess von $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ (d.h. es existieren Zufallselemente $\begin{eqnarray} \mu_1,\mu_2\dots\in \mathbf{N} \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} \xi=\sum_{i=1}^\kappa \delta_{(X_i,\mu_i)} \end{eqnarray}$ ) Zeige dass der Poisson cluster process $\begin{eqnarray} \chi(B):=\int_{\mathbf{X}\times \mathbf{N}}\mu(B)\xi(\mathrm{d}(x,\mu)),\quad B\in \mathcal{X} \end{eqnarray}$ ein Punkt-Prozess auf $\begin{eqnarray} \mathbf{X} \end{eqnarray}$ definiert mit Intensitätsmaß $\begin{eqnarray} \lambda'(B):=\int_{\mathbf{X}}\lambda(\mathrm{d}x)\int_{\mathbf{N}}\mu(B)K(x,\mathrm{d}\mu),\quad B\in \mathcal{X} \end{eqnarray}$ Lösung: Sei $\begin{eqnarray} \bar{\mathbb{N}}_0:= \mathbb{N}_0\cup \{\infty\} \end{eqnarray}$ . Das Marking-Theorem impliziert dass $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ auch wieder ein Poisson Punkt-Prozess sein muss, mit Intensitätsmaß $\begin{eqnarray} \lambda \otimes K \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbf{X}\times \mathbf{N} \end{eqnarray}$ . Das heisst es gilt für alle $\begin{eqnarray} B\in\mathcal{X} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu_i(B)\in \bar{\mathbb{N}}_0 \end{eqnarray}$ , für alle $\begin{eqnarray} i=1,\dots,\kappa \end{eqnarray}$ dass $\begin{eqnarray} \xi(B)=\sum_{i=1}^\kappa \mu_i(B)\in \bar{\mathbb{N}}_0 \end{eqnarray}$ , was die Messbarkeit zeigt und dass $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ ein Punkt-Prozess ist. Frage 1: Das verstehe ich nicht. Weshalb gilt $\begin{eqnarray} \xi(B)=\sum_{i=1}^\kappa \mu_i(B) \end{eqnarray}$ ? Mir ist das aus $\begin{eqnarray} \chi(B):=\int_{\mathbf{X}\times \mathbf{N}}\mu(B)\xi(\mathrm{d}(x,\mu)) \end{eqnarray}$ nicht ersichtlich. Da fehlt mir die Information aus $\begin{eqnarray} \mathbf{N} \end{eqnarray}$ . Überhaupt verstehe ich dieses $\begin{eqnarray} \mu(B) \end{eqnarray}$ im Integral nicht so recht. (also ich verstehe schon, dass es sich um ein Zufallselement $\begin{eqnarray} \mu(B)(\omega) \end{eqnarray}$ handelt) Forsetzung: Für alle $\begin{eqnarray} B\in \mathcal{X} \end{eqnarray}$ definieren wir $\begin{eqnarray} f_B:\mathbf{X}\times \mathbf{N}\to\bar{\mathbb{N}}_0 \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} f_B(x,\mu)=\mu(B) \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \xi(B)=\sum_{i=1}^\kappa \mu_i(B)=\sum_{i=1}^\kappa f_B(X_i,\mu_i)=\eta(f_B) \end{eqnarray}$ . Nach der Formel von Campbell gilt dann $\begin{eqnarray} \lambda'(B)=\mathbb{E}(\eta(f_B))=\int_{\mathbf{X}}\lambda(\mathrm{d}x)\int_{\mathbf{N}}f_B(x,\mu)K(x,\mathrm{d}\mu)=\int_{\mathbf{X}}\lambda(\mathrm{d}x)\int_{\mathbf{N}}\mu(B)K(x,\mathrm{d}\mu) \end{eqnarray}$ Frage 2: Die Campbell Formel (siehe Campbell's Theorem) macht eine Beziehung zum Intensitätsmaß $\begin{eqnarray} \lambda\otimes K \end{eqnarray}$ , wurde also folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(\eta(f_B))=\iint_{\mathbf{X}\times\mathbf{N}}f_B(x,\mu)\lambda\otimes K\ d(x,\mu) \end{eqnarray}$ und jetzt der Satz von Fubini-Tonelli angewendet? Vielen Dank für Eure Antworten! Edit: Für mehr Hintergrund-Information: markierte Punkt-Prozesse und das Marking Theorem. Edit: Hoffe die Formatierung ist jetzt erträglicher.

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