Morphismus von Varietäten |
| 02.07.2017, 10:48 | lissy1234567 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Morphismus von Varietäten hallo, als Klausurvorbereitung gehe ich gerade einige Ja/Nein-Fragen durch und komme bei der ein oder anderen auf kein Ergebnis. 1. Jeder Morphismus von Varietäten bildet Zariski-offene Mengen auf Zariski-offene Mengen ab. 2. Seien I,J Ideal in R(Ring) und es gelte I+J=R (also teilerfremd), dann folgt, dass I^n + J^m =R ist, für n,m beliebige natürliche Zahlen. 3. Die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum ist gleich der induzierten Topologie bezüglich einer belibigen der Einbettung ?i: A^n -> P^n (A^n affiner Raum, P^n projektiver Raum). Hierbei ist eine Menge im affinen Raum offen gdw sie Einschränkung einer offenen Menge aus dem projektiven Raum ist. Meine Ideen: Also zu 1. würde ich irgendwie nein sagen, da es bestimmt ein Gegenbeispiel gibt und somit nicht "jeder" Morphismus das erfüllt..leider fällt mir kein Beispiel oder sonstiges ein und im Internet findet man auch nicht wirklich was. zu 2. kann ich leider gar nichts sagen. Zwar hab ich mich mit teilerfremd schon bei einer Übung etwas auseinandergesetzt, allerdings kann ich das nicht übertragen. zu 3. wäre es mir primär wichtig, einfach mal den Zusammenhang zwischen diesen Zariski-Topologien im Affinen und Projektiven zu verstehen. Ich glaube das ist relativ wichtig und leider versteh ich es nicht 
Vielen Dank !! Eure Lissy 
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| 11.07.2017, 08:31 | MooS | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu 1. Bette doch einfach einen abgeschlossenen Punkt in den ein. Zu 2. Es gilt und ein Ideal enthält offenbar genau dann die 1, wenn es sein Radikal tut. Zu 3. Das ist richtig. Klarerweise ist jede Einschränkung einer offenen Mengen aus dem projektiven Raum offen im affinen Raum, weil eine Einbettung per Definition stetig ist. Es ist nun zu zeigen, dass andererseits jede offene Menge im affinen Raum vom projektiven Raum herkommt. Das ist nichttrivial und folgt z.b. daraus, dass man den projektiven Abschluss einer affinen Varietät bekommt, indem man eine Gröbner-Basis des Ideals homogenisiert. Dann ist klar, dass man durch dehomogenisieren (=wieder auf den affinen Raum einschränken) wieder die ursprüngliche affine Varietät zurückbekommt. |
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