Semidefinite Hessematrix

02.07.2017, 13:26

Klaus665

Semidefinite Hessematrix

Meine Frage:
Ich soll die stationären Punkte der Funktion $\begin{eqnarray*} g(a,b)=a^{4}+b^{4}-2a^{2}+4ab-2b^{2}+2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Bei einem stationären Punkt stehe ich leider etwas an....

Meine Ideen:
Ich bekomme drei stationäre Punkte: $\begin{eqnarray*} \alpha_{1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \alpha_{2}=\begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix}, \alpha_{3}=\begin{pmatrix} -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich sie dann mithilfe der Definitheit der Hessematrix $\begin{eqnarray*} H_g(a,b)=\begin{pmatrix} 12a^{2}-4 & 4 \\ 4 & 12b^{2}-4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ klassifizieren will, komme ich bei $\begin{eqnarray*} \alpha_{1} \end{eqnarray*}$ auf eine negativ-Semidefinite Matrix....

Für diesen Fall kann man ja mithilfe der Hessematrix keine Aussage mehr darüber treffe, um was für einen stationären Punkt es sich handelt....
Gibt es hier eine Methode,ohne eine Skizze, auf ein Ergebnis zu kommen?

02.07.2017, 14:15

Mathema

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Hallo Klaus665,

Zitat:

Gibt es hier eine Methode,ohne eine Skizze, auf ein Ergebnis zu kommen?

man untersucht halt die Umgebung. Wenn du also ein $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ nahe $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ angeben kannst, so daß der Funktionswert größer als 2 und ein $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ nahe $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ , so daß der Funktionswert kleiner als 2 ist, wird an dieser Stelle kein Extrempunkt vorliegen (höchstens ein Sattelpunkt). Folgende Umformung könnte dafür hilfreich sein und springt einem doch direkt ins Auge:

$\begin{eqnarray*} g(a,b)=a^{4}+b^{4}-2a^{2}+4ab-2b^{2}+2=(a^2-1)^2+(b^2-1)^2+4ab \end{eqnarray*}$

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