Holomorphe Funktion Funktionswert aus n-ter Ableitung

02.07.2017, 16:53	Brillenputztuch	Auf diesen Beitrag antworten »
Holomorphe Funktion Funktionswert aus n-ter Ableitung Meine Frage: Die Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray}$ sei holomorph und für $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} f^{(n)}(0)=\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ . Geben Sie $\begin{eqnarray} f(1) \end{eqnarray}$ an. Meine Ideen: Naja, mit den Potenzreihenentwicklungssatz ist $\begin{eqnarray} f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty } a_nz^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(n+1)!}=e-1 \end{eqnarray}$ . Stimmt das? Ist das schon das ganze Geheimnis oder hat die Aufgabe noch irgendeinen Haken? Danke euch schonmal für eine kurze Rückmeldung.
02.07.2017, 20:47	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sieht gut aus. Edit: Ich gehe davon aus, dass in der drittletzten Zeile $\begin{align} f(1) \end{align}$ stehen sollte.
02.07.2017, 21:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Und auch ganz $\begin{align} f(z) \end{align}$ ist ja unmittelbar darstellbar: $\begin{align} f(z) = \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\;z=0\\ \displaystyle\frac{e^z-1}{z} &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align}$
02.07.2017, 21:10	Brillenputztuch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, natürlich f(1), war ein Tippfehler. @HAL9000: Stimmt, das wäre sogar direkt eine allgemeine Formel.

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