Bilinearform/ONB

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Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform/ONB
Meine Frage:
Hallo Leute,
ich sitze gerade an meiner Aufgabe zur VL Lineare Algebra 2.
Irgend wie komme ich nicht weiter, entweder ich habe einen Denkfehler oder ich verrechne mich die ganze Zeit.

Seien M =

und phy: die durch phy(x,y)=x^T*M*y gegebene Bilinearform.

c) Gibt es eine Orthonoarmalbasis von bzgl phy? Falls ja, berechnen Sie eine Orthonormalbasis B und die Darstellungsbasis M^B (phy). Falls nein, begründen Sie, warum es keine ONB geben kann.

Meine Ideen:
Aus Teil a), b) und d) habe ich festgestellt, begründet das phy symmetrisch, nichtausgeartet und positiv definit ist also ein Skalarprodukt. Und mit einem Korollar (Der Standardvektorraum V= bzgl des durch M definierten Skalarprodukts < , > besitzt eine Orthonormalbasis <=> Die strukturmatrix ist symmetrisch und positiv definit) folgt das es eine Orthonormalbasis gibt. Diese wollte ich mit Gram-Schmidt Verfahren berechnen nur bekomme ich aber zwei Vektoren raus die nicht Orthogonal sind. Jetzt ist die Frage wo der Fehler liegt. Wenn es erforderlich ist schreibe ich gerne noch meine Sätze oder Begründungen für die anderen Teile auf.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe auf, was du gerechnet hast, dann findet jemand deinen Rechenfehler. Das ist einfacher als dir etwas vorzurechnen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre vor allem wichtig, dass du deine Rechnung mit uns teilst.

Wie genau hattest du dir denn vorgestellt, dass wir deinen Fehler finden, wenn du das nicht tust? Augenzwinkern
Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte jemand sagt erst mal was zu dem was ich geschrieben habe. Vielleicht sagt ja jemand sofort, es kann keine ONB geben. Aber ok, dann tippe ich schnell alles ab Big Laugh
Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »

Gram Schmidt Orthonormalisierungsverfahren



So glaube beim abtippen habe ich meine Fehler gefunden, rechne noch mal schnell durch. Habe bestimmt 10 mal drüber geschaut Big Laugh
Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »

Benutz die kanonisdche Einheitsbasis:




=>



=
=



...



M^B(phy) ist eine 3x3 Matrix und die einzelnen Einträge erhalte ich mit

Sofern ich es richtrig in erinnerung habe sollte sie so aussehen :

 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Auf dem Weg zu hast du statt geschrieben aber offenbar benutzt, das Ergebnis scheint richtig. will ich nicht ausrechnen, rechnen ist dein Bier. Augenzwinkern
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt auch. Kannst du noch etwas zur Basiswechselmatrix sagen, Elvis?

Ich kann nur sagen, dass bei die Einheitsmatrix herauskommen muss, das ist gerade die Definition einer ONB. Was hier wirklich gefordert ist, weiß ich nicht mehr. Dafür müsste ich mir die Definitionen noch einmal angucken.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt die Einheitsmatrix heraus, so wie es sein soll. Man darf nicht die orthogonalen Vektoren verwenden, man muss die orthonormalen Vektoren einsetzen.
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