Grenzwert von tan^tan2x

02.07.2017, 19:08

Krischon

Grenzwert von tan^tan2x

Meine Frage:
Moin,

ich hab eine Frage zu folgender Grenzwertberechnung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi /4} tanx^{tan(2x)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Ansatz liegt bei l'Hospital (wo auch sonst smile

Zuerst wende ich die e-Funktion und ihre Eigenschaften an:

$\begin{eqnarray*} e^{\lim_{x \to \pi /4} tan(2x)*ln(tan(x)) } \end{eqnarray*}$
Wir können also nun erstmal den Grenzwert des Produktes betrachten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi /4} tan(2x)*ln(tan(x)) \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} tan(2x) = \frac{2*tan(x)}{1-tan²(x)} \end{eqnarray*}$
Wenn ich $\begin{eqnarray*} t=tan(x) \end{eqnarray*}$ substituiere, dann und darauf l'Hospital anwende, dann bekomme ich aber diesen ekligen Quotienten:

$\begin{eqnarray*} \frac{2((tan²(x)+1)ln(tan(x)-tan²(x)+1}{(tan²(x)-1)²} \end{eqnarray*}$
heraus.
Kann ich da schon den Grenzwert für nutzen? Oder bietet sich eine Umformung von tan² an?
An dieser Stelle hängt es jedenfalls bei mir.
Freue mich über eure Hilfe!

02.07.2017, 19:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Krischon
Wir können also nun erstmal den Grenzwert des Produktes betrachten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi /4} tan(2x)*ln(tan(x)) \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} tan(2x) = \frac{2*tan(x)}{1-tan²(x)} \end{eqnarray*}$
Wenn ich $\begin{eqnarray*} t=tan(x) \end{eqnarray*}$ substituiere, dann und darauf l'Hospital anwende

Gute Idee! Was ich aber nicht verstehe: Wieso tauchen nach der Substitution überhaupt noch Tangensterme bei dir auf??? Tatsächlich hat man nach der Substitution doch

$\begin{align*} \lim_{x\to\frac{\pi}{4}} \tan(2x)\cdot \ln(\tan(x)) = \lim_{x\to\frac{\pi}{4}} \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}\cdot \ln(\tan(x)) = \lim_{t\to 1} \frac{2t}{1-t^2}\cdot \ln(t) \end{align*}$ .

02.07.2017, 19:58

Leopold

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Ist das überhaupt die Aufgabe? Ich lese den Term jedenfalls so: $\begin{align*} \tan \left( x^{\tan(2x)} \right) \end{align*}$ . Krischon geht offenbar von dem (spannenderen) $\begin{align*} \left( \tan(x) \right)^{\tan(2x)} \end{align*}$ aus.

03.07.2017, 18:15

Krischon

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Das ist irreführend, stimmt. Gemeint ist aber tatsächlich der zweite Term, @Leopold.

@HAL, du hast recht, das sollte wohl eher nicht so sein.

Ich sehe, dass du zuletzt den Limes von t gegen 1 laufen lässt. Wie kommst du dazu?
Nichts destotrotz werde ich dann doch immer einen Term der Form 0/0 haben, wenn ich den Limes laufen lasse. Da nützt mir l'Hospital doch gar nichts mehr.. :/

03.07.2017, 18:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Krischon
Ich sehe, dass du zuletzt den Limes von t gegen 1 laufen lässt. Wie kommst du dazu?

Als ich das letzte mal nachgeschaut habe, war $\begin{align*} \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 \end{align*}$ . Big Laugh

03.07.2017, 18:34

Krischon

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hehe. Wenn man sich auf seinen TR für alles verlässt und dabei vergisst von D auf R umzustellen.. ^^

Nun gut. Ich erhalte also durch l'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \frac{2((t²+1)ln(t)-t²+1))}{(t²-1)²} \end{eqnarray*}$

Nun zurück zu dem Problem. Hier habe ich einen Term der Form 0/0 (nach Limes), den ich aber (nach einigen Versuchen) durch weiteren l'Hospital nicht vereinfacht bekomme. Wo ist da der Trick.. verwirrt

03.07.2017, 19:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Krischon
Nun gut. Ich erhalte also durch l'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \frac{2((t²+1)ln(t)-t²+1))}{(t²-1)²} \end{eqnarray*}$

Wie zum Teufel entstehen denn diese Monsterterme??? Jedenfalls nicht per

$\begin{align*} \lim_{t\to 1} \frac{2t\ln(t)}{1-t^2} = 2\lim_{t\to 1} \frac{(t\ln(t))'}{(1-t^2)'} = 2\lim_{t\to 1} \frac{\ln(t)+1}{-2t} \end{align*}$ .

03.07.2017, 20:25

Leopold

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Man könnte ja auch gleich so umgruppieren:

$\begin{align*} \frac{2t \ln t}{1-t^2} = - \frac{2t}{1+t} \cdot \frac{\ln t}{t-1} \end{align*}$

und erkennt im zweiten Bruch den Differenzenquotienten der Logarithmusfunktion an der Stelle 1.

04.07.2017, 09:08

Krischon

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Yes.

Mein Fehler, ziemlich blöde..

$\begin{eqnarray*} 2 \lim_{t \to 1} \frac{ln(t)+1}{-2t} = \frac{2}{-2} = -1 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi /4} (tanx)^{tan(2x)} = e^{-1} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Danke zusammen!

04.07.2017, 10:39

Leopold

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Wie bereits gesagt, genügt der elementare Weg über den Differenzquotienten der Funktion $\begin{align*} f(t) = \ln t \end{align*}$ an der Stelle $\begin{align*} t_0 = 1 \end{align*}$ . Es handelt sich daher um nichts anderes als die Definition der Ableitung.

$\begin{align*} \lim_{t \to t_0} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} = \lim_{t \to 1} \frac{\ln t}{t - 1} = \left. \frac{\dd \ln t}{\dd t} \right|_{\, t=1} = \left. \frac{1}{t} \right|_{\, t=1} = 1 \end{align*}$

Insgesamt erhält man so

$\begin{align*} \lim_{t \to 1} \left( - \frac{2t}{1+t} \cdot \frac{\ln t}{t-1} \right) = - \frac{2}{2} \cdot 1 = -1 \end{align*}$

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