Limes einer Folge von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen

03.07.2017, 09:44

konrad1

Limes einer Folge von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen

Guten Morgen,

$\begin{eqnarray*} (X_{n}) \end{eqnarray*}$ sei eine Folge von unabhängigen, auf [0,1] gleichverteilten Zufallsvariablen. Bestimmen Sie:

$\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty}(\prod_{i=1}^{n}X_{i})^{1/n} \end{eqnarray*}$

Da der Limes 1 oder 0 sein muss habe ich versucht ein Teilprodukt mit seinem Nachfolger zu vergleichen und auf irgendeine sinnvolle Ungleichung zu kommen - ohne Erfolg. Im Beispiel Punkt (a) steht dass man das starke Gesetz der Großen Zahlen von Kolmogorov beweisen soll, vielleicht soll man etwas davon verwenden (Kroneckers Lemma evtl?).

Wie gesagt, bin ziemlich ratlos

LG

Konrad

03.07.2017, 10:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von konrad1
Da der Limes 1 oder 0 sein muss

Was bringt dich zu dieser Schlussfolgerung? Der Limes ist fast sicher konstant, ja, aber diese Konstante muss nicht notwendig 0 oder 1 sein. unglücklich

Tatsächlich kann man auf die richtige Konstante durch Betrachtung von $\begin{align*} \ln\left( \left( \prod_{i=1}^n X_i \right)^{\frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left( X_i \right) \end{align*}$ kommen.

03.07.2017, 12:01

konrad1

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Hallo,

vielen Dank!

dass es gegen 0 oder 1 geht war ein Hinweis am Rand der kopierten Prüfungsangabe - ich weiß nicht ob das stimmt und ob er vom Professor stammt oder eine Notiz darstellt.

Die Summe auf der rechten Seite kovergiert mit gleichverteilten $\begin{eqnarray*} X_{i} \end{eqnarray*}$ gegen -1, also der gesamte Ausdruck gegen 1/e?

LG

Konrad

03.07.2017, 13:10

HAL 9000

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Ja, wegen $\begin{align*} E(\ln(X_i)) = -1 \end{align*}$ und $\begin{align*} V(\ln(X_i)) = 1 < \infty \end{align*}$ kann man das mit dem starken GgZ begründen.

03.07.2017, 13:53

konrad1

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Hallo, jetzt bin ich doch wieder verwirrt (oder auch nicht)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \ln\left( X_i \right) \end{eqnarray*}$

divergiert doch gegen -unendlich,

$\begin{eqnarray*} 1/n \sum_{k=1}^n \ln\left( X_i \right) \end{eqnarray*}$

konvergiert gegen -1. Wenn man zur ursprünglichen Gleichung zurückkehrt hat man etwas das gegen

$\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$

konvergiert?

Edit: aso ja, Varianz endlich, daher gilt das Gesetz der Großen Zahlen, und die Summe inklusive der n konvergiert gegen -1, hab zuerst gedacht dass Du meinst dass ich das GdgZ auf die Summe und nicht auf die Abweichung vom Erwartungswert anwenden soll, das auch noch mit dem Lemma von Kronecker verwechselt etc...

LG

Konrad

03.07.2017, 14:33

HAL 9000

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Genau, die Varianz habe ich nur deshalb angeführt, weil deren Endlichkeit hinreichend ist für die Anwendbarkeit des starken GgZ.

03.07.2017, 18:03

konrad1

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Vielen Dank!

14.09.2018, 19:13

Tidus

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Problem mit der Berechnung
Hallo zusammen,

ich habe mir dieses Beispiel angeschaut und komme einfach nicht drauf, wie man von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum\nolimits_{k=1}^nln(X_{k}) \end{eqnarray*}$ auf -1 kommt.
Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, wie ich mit dem Xi umzugehen habe.

Ich bedanke mich für jede Hilfe im Voraus Gott

17.09.2018, 09:24

HAL 9000

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Wo genau liegen die Probleme?

1) Bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} E(\ln(X_i)) \end{eqnarray*}$ basierend auf der gegebenen Gleichverteilung von $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ,

oder

2) dass man hier das Gesetz der Großen Zahlen anwenden darf?

Falls es 1) ist: Mit Dichte

$\begin{eqnarray*} f_{X_i}(x) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; 0\leq x\leq 1\\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} E(\ln(X_i)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \ln(x)\cdot f_{X_i}(x) ~ \dd x = \int\limits_0^1 \ln(x) ~ \dd x = \left[x\ln(x)-x\right]_{x=0}^1 = -1-0 = -1 \end{eqnarray*}$ ,

bei der Integralberechnung wird an der unteren Grenze 0 der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0} x\ln(x) = 0 \end{eqnarray*}$ genutzt.

20.09.2018, 08:57

Tidus

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Als erstes möchte ich mich bedanken!

Das Problem war Punkt 1.

Beim zweiten Punkt verwendet man das Gesetz der großen Zahlen, damit

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n} ln(X_{k}) = E(ln(X)) P-fs \end{eqnarray*}$

gilt und dadurch bekommt man

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ( \prod \limits_{i=1}^{n} X_{i})^{\frac{1}{n} } = e^{-1} \end{eqnarray*}$
heraus.

Stimmt das so?
Nochmal danke für die schnelle Antwort.

LG
Tidus

20.09.2018, 14:53

HAL 9000

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Richtig, zunächst liefert das GgZ den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n} ln(X_{k}) = -1 \end{eqnarray*}$ P-fs.

und dann kann man die stetige Exponentialfunktion (S) auf diesen Grenzwert anwenden und bekommt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(\prod_{i=1}^n X_i\right)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \right) \stackrel{(S)}{=} \exp\left( \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \right) = e^{-1} \end{eqnarray*}$ P-fs.

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