Parameterintegrale - Ableitung bestimmen (Gaußsche Fehlerfunktion)

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03.07.2017, 11:54	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterintegrale - Ableitung bestimmen (Gaußsche Fehlerfunktion) Meine Frage: Wir haben jetzt das Thema Integrale, was ich bisher sehr verständlich fande. Jedoch bin ich jetzt bei einer Aufgabe zu Parameterintegralen und weiß nicht so recht was zu tun ist. Bestimmen Sie die Ableitung $\begin{eqnarray} F'(x) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} F(x)=\int_{x}^{2x} \! e^{-y^2}+\frac{x\cdot sin(y)}{3-cos(y)} \, dy \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also im Skript werden ähnliche aber simplere Aufgaben zu dem Thema beschrieben, hier geht der Prof wie folgt vor Wir setzen $\begin{eqnarray} G(x,u,v)=\int_{u}^{v} \! e^{-y^2}+\frac{x\cdot sin(y)}{3-cos(y)} \, dy \end{eqnarray}$ damit ist $\begin{eqnarray} F(x)=G(x,x,2x) \end{eqnarray}$ Jetzt wird die mehrdimensionale Kettenregel verwendet $\begin{eqnarray} F'(x)=\frac {dg}{dx}(x)=\Delta G(x,x,2x)\cdot Df(x) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} f:\left(0,\infty\right)\rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} f(x)=(x,x,2x)^T \end{eqnarray}$ gegeben ist. Jetzt ist ja $\begin{eqnarray} \Delta G(x,x,2x)= \left[e^{-y^2}+\frac{x\cdot sin(y)}{3-cos(y)}\right]dy,e^{-u^2}+\frac{x\cdot sin(u)}{3-cos(u)} , e^{-v^2}+\frac{x\cdot sin(v)}{3-cos(v)}) \end{eqnarray}$ Wenn ich das soweit richtig verstanden habe. Aber ich bekomme es nicht wirklich hin, die Stammfunktion zu bilden habs dann mit einem Rechner probiert dieser spuckt aber auch etwas sehr merkwürdiges raus $\begin{eqnarray} \left[e^{-y^2}+\frac{x\cdot sin(y)}{3-cos(y)}\right]dy=x\ln\left(3-\cos\left(y\right)\right)+\dfrac{\sqrt{{\pi}}\operatorname{erf}\left(y\right)}{2} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} erf(y) \end{eqnarray}$ ja schon definiert ist, hatten wir aber noch nie so und denke nicht das wird das verwenden dürfen. Also stehe ich hier vor einem Problem Ansonsten wäre das dann ja nurnoch ausmultiplizieren und fertig. Aber wie löse ich das jetzt ohne die gaußsche Fehlerfunktion?
03.07.2017, 11:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameterintegrale - Ableitung bestimmen (Gaußsche Fehlerfunktion) Die erste Komponente von $\begin{eqnarray} DG \end{eqnarray}$ ist sehr falsch. Du hast F abgeschrieben und einfach das Integral weggelassen, aber nicht das $\begin{eqnarray} dy \end{eqnarray}$ . Du musst den Integranden nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ableiten. Dann verschwindet $\begin{eqnarray} e^{-y^2} \end{eqnarray}$ und die Stammfunktion ist danach trivial. Bei der zweiten Komponente hast du einen Vorzeichenfehler.
03.07.2017, 12:22	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Upps, ja hab das integralzeichen vergessen $\begin{eqnarray} \Delta G(x,x,2x)=(\int_{u}^{v} \left[e^{-y^2}+\frac{x\cdot sin(y)}{3-cos(y)}\right]dy,e^{-u^2}+\frac{x\cdot sin(u)}{3-cos(u)} , e^{-v^2}+\frac{x\cdot sin(v)}{3-cos(v)}) \end{eqnarray}$ bin mir bei de Richtigen schreibweise nicht so sicher hier. Also ich muss den Integranden ableiten, das wäre doch $\begin{eqnarray} \left[e^{-y^2}+\frac{x\cdot sin(y)}{3-cos(y)}\right]dx = \dfrac{\sin\left(y\right)}{3-\cos\left(y\right)} \end{eqnarray}$ aber wieso genau mache ich das? Oder ist das einfach das Standard prozedere Bilde ich jetzt hier die Stammfunktion nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ? Weil du meinst trivial, bei $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ wäre es ja $\begin{eqnarray} \dfrac{x\cdot\sin\left(y\right)}{3-\cos\left(y\right)} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} ln(3-cos(y)) \end{eqnarray}$ . Weiß nicht welches der beiden ich jetzt brauche... Den Vorzeichenfehler sehe, oder verstehe ich nicht. die Komponenten sind doch einfach die Gleichung mit jeweils $\begin{eqnarray} u=y\lor v=y \end{eqnarray}$ eingesetzt oder? Danke aber schon mal für die schnelle Antwort!!
03.07.2017, 12:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Komponente ist $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abgeleitet. Man muss etwas argumentieren, warum man die Ableitung ins Integral ziehen kann, aber danach gilt es nur noch den Integranden ableiten. Der Rest bleibt natuerlich, d.h. nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ integrieren. Und beim zweiten: Ist $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} \int_u^v h(y) dy = H(v) - H(u) \end{eqnarray}$ . Leitet man es nach $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ab, erhaelt man $\begin{eqnarray} H'(v) = h(v) \end{eqnarray}$ . Aber das gleiche nach $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ gibt einem das Vorzeichen, das ich meinte.
03.07.2017, 13:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@dubbox Nur eine Symbolanmerkung: Den Gradienten würde ich eher mit $\begin{align} \nabla G \end{align}$ bezeichnen, wie es üblich ist. $\begin{align} \Delta \end{align}$ sieht eher nach Differenz oder aber auch Laplace-Operator aus.
03.07.2017, 15:19	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh das ist ja umgedreht aufpassen müsste man mal, hab das immer als Delta gelesenen ist aber das Nabla ah, vielen Dank!! Also wäre dann die erste Komponente $\begin{eqnarray} \int_{u}^{v} (\left[e^{-y^2}+\frac{x\cdot sin(y)}{3-cos(y)}\right]dx)dy<br /> = \int_{u}^{v} (\frac{sin(y)}{3-cos(y)})dy<br /> =ln(3-cos(y)) \end{eqnarray}$ Der Gradient wäre dann $\begin{eqnarray} \nabla G(x,u,v)=(ln(3-cos(y)),-(e^{-u^2}+\frac{x\cdot sin(u)}{3-cos(u)}), e^{-v^2}+\frac{x\cdot sin(v)}{3-cos(v)}) \end{eqnarray}$ wenn ich jetzt eure Hilfe richtig verstanden habe! Also können wir die Gleichung aufstellen mit $\begin{eqnarray} Df(x)=(1,1,2)^T,x\in (0,\infty) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F'(x)=\frac {dg}{dx}(x)=\Delta G(x,x,2x)\cdot Df(x)<br /> =(ln(3-cos(y)),-(e^{-x^2}+\frac{x\cdot sin(x)}{3-cos(x)}), e^{-(2x)^2}+\frac{x\cdot sin(2x)}{3-cos(2x)}) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}<br /> = (ln(3-cos(y))-(e^{-x^2}+\frac{x\cdot sin(x)}{3-cos(x)})+ 2(e^{-(2x)^2}+\frac{x\cdot sin(2x)}{3-cos(2x)})) \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt alles richtig gemacht habe, sollte das dann mein $\begin{eqnarray} F'(x) \end{eqnarray}$ sein oder?
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03.07.2017, 15:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast. Erstens hat in der ersten Mathe-Umgebung das dx nichts verloren. Zweitens hast du vergessen die Grenzen einzusetzen.
03.07.2017, 16:18	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Verdammt hoffentlich jetzt aber $\begin{eqnarray} \int_{u}^{v} \left[e^{-y^2}+\frac{x\cdot sin(y)}{3-cos(y)}\right]dy<br /><br /> = \int_{u}^{v} \frac{sin(y)}{3-cos(y)}dy<br /><br /> =ln(3-cos(v))-ln(3-cos(u)) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} F'(x)=\frac {dg}{dx}(x)=\Delta G(x,x,2x)\cdot Df(x)<br /><br /> =(ln(3-cos(2x))-ln(3-cos(x)),-(e^{-x^2}+\frac{x\cdot sin(x)}{3-cos(x)}), e^{-(2x)^2}+\frac{x\cdot sin(2x)}{3-cos(2x)}) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}<br /><br /> = (ln(3-cos(2x))-ln(3-cos(x)))-(e^{-x^2}+\frac{x\cdot sin(x)}{3-cos(x)})+ 2(e^{-(2x)^2}+\frac{x\cdot sin(2x)}{3-cos(2x)})) \end{eqnarray}$ Jetzt aber oder ? Vielen Dank aber schon mal für die Klasse Hilfe! Dann gehen wohl alle Aufgabentypen dieser Art nach dem selben Schema, dieses sollte ich jetzt verstanden habe, super!!
03.07.2017, 16:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Aber (habe es eben nicht erwähnt) statt dem dx sollte da eine Ableitung nach x stehen. Ich hoffe die Ableitung wurde von dir nicht durch dx notiert. Denn das Delta statt Nabla zu verwechseln ist eine Sache. Integration und Differentiation eine deutlich schwerwiegendere.
03.07.2017, 16:51	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
doch also hab das verwechselt muss mich bei den ganzen Notationen noch einfinden integrieren nach $\begin{eqnarray} x:\int f(x)dx \end{eqnarray}$ und ableiten ist $\begin{eqnarray} \frac d {dx}f(x) \end{eqnarray}$ korrekt wäre also hier noch $\begin{eqnarray} \int_{u}^{v} \frac d {dx}\left[e^{-y^2}+\frac{x\cdot sin(y)}{3-cos(y)}\right]dy<br /><br /><br /> = \int_{u}^{v} \frac{sin(y)}{3-cos(y)}dy<br /><br /><br /> =ln(3-cos(v))-ln(3-cos(u)) \end{eqnarray}$ zu ändern oder?
03.07.2017, 16:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht doch schon deutlich besser aus Edit: Jetzt verstehe ich auch warum du nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ integrieren wolltest

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