Konvergenz Fourierreihen |
| 03.07.2017, 12:43 | F14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Konvergenz Fourierreihen In der Vorlesung haben wir verschiedene Konvergenzbegriffe für Fourierreihen von 2pi-periodischen Funktionen gemacht. Mir ist bekannt: Für stetige periodische Funktionen konvergiert das arithmetische Mittel der Fourierreihen gleichmäßig gegen die Funktion (Satz von Fejer). Die Fourier-Basisfunktionen bilden daher ein vollständiges ONS von dem Raum der periodischen Funktionen bezüglich L2([-pi,pi])-Norm. Nach der Parsevallschen Gleichung ist also (wieder in dieser Norm) ||f-fn|| = 0 wobei fn die Fourierreihe ist. Folgt damit aber nun punktweise Konvergenz der fn gegen f? Denn ||...||=0 heißt doch dass das Integral von |f-fn| auf [-pi,pi] verschwindet, also f=fn fast überall Meine Ideen: Bin mir da nicht sicher... |
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| 03.07.2017, 13:41 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz Fourierreihen
Nein, es gilt .
Nein, die Fourierreihe konvergiert im Allgemeinen nicht punktweise gegen die Funktion. Betrachte eine Funktion mit einer Sprungstelle. |
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| 03.07.2017, 14:26 | F14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, danke 
Wenn f stetig ist müsste aber aus L2-Konvergenz von |f-fn| auch punktweise Konvergenz folgen, oder? Weil ich mit majorisierter Konvergenz ja dann limes und Integral vertauschen darf (|f-f| ist als stetige Funktion auf [-pi,pi] beschränkt) |
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| 03.07.2017, 14:48 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiss nicht wie Du aus der L2-Konvergenz die punktweise Konvergenz folgerst... Allerdings konvergiert die Fourierreihe einer stetigen Funktion tatsächlich punktweise gegen die Funktion. |
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| 03.07.2017, 15:11 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@system-agent Punktweise leider nein. Nur punktweise fast überall. Siehe Wikipedia. |
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| 03.07.2017, 16:06 | F14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bin gerade leider nur am Handy, aber ich hätte gesagt, dass man den Grenzwert des Integrals von |f-fn|^2 (von -pi bis pi) als das Integral (von -pi bis pi) des limes schreiben kann (maj. Konvergenz, denn |f-fn| ist beschränkt weil f stetig, und das Intervall kompakt) und dann folgt ja |f-fn| = 0 (fast überall) |
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| 03.07.2017, 16:09 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aus Konvergenz in folgt NICHT punktweise Konvergenz, auch nicht punktweise fast ueberall. Allenfalls kann man folgern, dass es Teilfolge existiert, die punktweise fast ueberall gegen konvergieren. |
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| 03.07.2017, 16:14 | F14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn (g_n) eine Cauchyfolge von L2-Funktionen ist so gibt es keine punktweise gebildete L2-Grenzfunktion? |
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| 03.07.2017, 16:21 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann es, muss es aber nicht. Man kann sich einen Balken konstruieren, der von links nach rechts auf einem Intervall laueft. Sobald er rechts angekommen ist wird er schmaller und wandert wieder nach links. Am Rand angekommen wird er schmaller und wandert nach rechts. Das ist so ziemlich das Standardbeispiel dafuer. |
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| 03.07.2017, 16:39 | F14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich dachte L2 ist vollständig? Also dass Cauchyfolgen konvergieren 
Sorry dass ich hier so zwischen Tür und Angel schreibe aber bin wie gesagt unterwegs |
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| 03.07.2017, 16:41 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Raum ist vollständig. D.h. es gibt einen Grenzwert so dass in konvergiert. Heisst dennoch nicht, dass punktweise fast ueberall konvergiert. Das eine hat erst einmal nichts mit dem anderen zu tun. |
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