Öffnungswinkel mit Standardskalarprodukt

03.07.2017, 12:38

Das_asdf_Wort

Öffnungswinkel mit Standardskalarprodukt

Hi @ll

Es geht um eine Aufgabe aus dem Buch "Lineare Algebra - Jänich S. 55"

AUFGABE 2.1P:
In einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum sei $\begin{eqnarray*} (e_{1}, e_{2}, e_{3}) \end{eqnarray*}$ eine orthonormale Basis. Es seien x,y Vektoren mit $\begin{eqnarray*} x = 3e_{1}+4e_{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} || y || = 5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y, e_{3}) \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Man berechne aus diesen Daten den Cosinus des Öffnungswinkels zwischen x + y und x - y.
Die Aufgabe lässt sich mit Zahlen sehr leicht lösen, jedoch verstehe ich die Lösung im Buch nicht.

Lösung: Durch die Vorraussetzung kann x nicht y sein.

$\begin{eqnarray*} < x+y,x-y> = ||x+y||*||x-y||*cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(\phi) = \frac{< x+y,x-y>}{||x+y||*||x-y||} \end{eqnarray*}$
Dabei wird vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} ||x-y||>0 \end{eqnarray*}$ sein muss und somit der Nenner definiert ist.
JETZT kommt der Schritt der Umformung, den ich nicht verstehe:
$\begin{eqnarray*} < x+y,x-y > = < x,x-y > + < y,x-y > \end{eqnarray*}$
Ich nehme an, man schaut nur noch den Zähler an. Trotzdem verstehe ich die Umformung nicht. Wenn ich die zwei Standartskalarprodukte wieder zusammenführe, habe ich ja:
$\begin{eqnarray*} < x+y,x-y > = < x,x-y > + < y,x-y > \Rightarrow < x+y,x-y > = < x+y,2x-2y > \end{eqnarray*}$

Weiter geht es mit:
$\begin{eqnarray*} < x+y,x-y > = < x,x > - < x,y > + < x,y > - < y,y > \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} < x+y,x-y > = 0 \end{eqnarray*}$
Folglich ist der WInkel 90°.

Ich bin über jede Hilfe dankbar!

03.07.2017, 13:08

klarsoweit

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RE: Öffnungswinkel mit Standardskalarprodukt

Zitat:

Original von Das_asdf_Wort
Wenn ich die zwei Standartskalarprodukte wieder zusammenführe, habe ich ja:
$\begin{eqnarray*} < x+y,x-y > = < x,x-y > + < y,x-y > \Rightarrow < x+y,x-y > = < x+y,2x-2y > \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Für das Skalarprodukt gilt: $\begin{eqnarray*} \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle = \langle x+y, z \rangle \end{eqnarray*}$ smile

03.07.2017, 14:01

Das_asdf_Wort

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RE: Öffnungswinkel mit Standardskalarprodukt
Danke für die raschen Hilfe

Kannst du mir noch den finalen Schritt erläutern?
$\begin{eqnarray*} < x+y,x-y > = < x,x > - < x,y > + < x,y > - < y,y > \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} < x+y,x-y > = 0 \end{eqnarray*}$
Folglich ist der WInkel 90°.

Ich nehme an, $\begin{eqnarray*} - < x,y > + < x,y > \end{eqnarray*}$ kürzt sich weg, wie jedoch erschliesst sich, dass $\begin{eqnarray*} < x+y,x-y > = < x,x > - < y,y >=0 \end{eqnarray*}$ ergibt?

03.07.2017, 15:45

mYthos

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RE: Öffnungswinkel mit Standardskalarprodukt
Die <x, y> kürzen sich nicht, sondern sie reduzieren sich zu Null.

Das SSP ist kommutativ und distributiv.
Ferner gilt $\begin{eqnarray*} <x,x> = x^2 = |x|^2 \end{eqnarray*}$

Welchen Betrag haben jeweils die Vektoren x und y?

mY+

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