Restterm von Lagrange

03.07.2017, 20:52

PhysX

Restterm von Lagrange

Guten Abend,
ich hänge an folgende Aufgabe:

[attach]44817[/attach]

Die (a) habe ich bereits gelöst.

Mein Weg:
Die partiellen Ableitungen lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac { df }{ dx } (x,y)=3e^yx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac { df }{ dy} (x,y)=x^3e^y \end{eqnarray*}$
Daraus folgt für das Taylorpolynom:

$\begin{eqnarray*} T_{1,(-1,0)}=-y+3x+2 \end{eqnarray*}$

Ich weiß leider nicht wie die (b) und die (c) gehen.. Für die (b) haben wir im Skript eine Formel gegeben, aber ich weiß nicht so wirklich wie ich sie anwenden soll
[attach]44818[/attach]

ich habe dennoch die 2.partiellen Ableitungen gebildet:
$\begin{eqnarray*} \frac { d^2f }{ dx^2 } (x,y)=6e^yx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac { d^2f }{ dy^2} (x,y)=x^3e^y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac { d }{ dx}\frac { df }{ dy}(x,y) =3e^yx^2 \end{eqnarray*}$

03.07.2017, 21:07

Dustin

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Hi PhysX!

Zitat:

Die (a) habe ich bereits gelöst.

Mein Weg:
Die partiellen Ableitungen lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac { df }{ dx } (x,y)=3e^yx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac { df }{ dy} (x,y)=x^3e^y \end{eqnarray*}$
Daraus folgt für das Taylorpolynom:

$\begin{eqnarray*} T_{1,(-1,0)}=-y+3x+2 \end{eqnarray*}$

Yup, sehe ich auch so, außer dass ich statt "+2" im Taylorpolynom "-2" habe.

Bei (b) bist du allerdings auf dem Holzweg. Die Lösung ist eigentlich ganz einfach, im Skript steht ja ganz oben links
$\begin{eqnarray*} R_{m,a}(x)=f(x)-T_{m,a}(x) \end{eqnarray*}$ (übrigens fehlt da im Skript das tiefgestellte a bei dem R). Das heißt, du setzt jetzt einfach das gegebene f(x,y) und das in a) errechnete Taylorpolynom ein und fertig Augenzwinkern

LG Dustin

03.07.2017, 21:08

Dustin

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Die (c) hat dann eher mit dem zu tun, was du bei (b) machen wolltest, so grundsätzlich Augenzwinkern

04.07.2017, 11:23

HAL 9000

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@PhysX

Beim Verständnis der mehrdimensionalen Resttermformel von Lagrange ist es essentiell, was die Autoren mit dem Operator $\begin{align*} ((x-a)\cdot \nabla)^{m+1} \end{align*}$ meinen, das solltest du nochmal genau nachschlagen und versuchen zu verstehen.

Ich finde da die Darstellung mit Multiindizes irgendwie zugänglicher, aber das ist letzten Endes Geschmackssache. Augenzwinkern

04.07.2017, 15:40

PhysX

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Du hattest recht, mir ist bei der (a) ein blöder Fehler unterlaufen.
Das Taylorpolynom lautet also:
$\begin{eqnarray*} T_{1,(-1,0)}=-y+3x-2 \end{eqnarray*}$

Draus folgt bei der (b):

$\begin{eqnarray*} R_{1,(-1,0)}=x(x^2e^y-3)+y-2 \end{eqnarray*}$

bei der (c) weiß ich nicht weiter. Ich hab mal die Formel aus dem Skript genutzt, und kam auf:
$\begin{eqnarray*} R_m(x)=\frac{1}{2} \left((x+1)* \begin{pmatrix} -6 & 3 & \\ 3 & -1\end{pmatrix}\right)^2 *f(\xi) \end{eqnarray*}$ verwirrt

04.07.2017, 16:01

Dustin

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Bei der b) muss es dann logischerweise am Ende "+2" heißen Augenzwinkern

Zu (c): Die ist bei dir noch ziemlich falsch. Da ich jetzt leider weg muss, kann ich dir da erst heute Abend helfen. Oder vielleicht übernimmt jemand anders den Thread.
Also dann evtl. bis heute Abend!
LG Dustin

04.07.2017, 16:29

PhysX

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Diese verflixte 2 unglücklich

Zur (c) ja das habe ich vermutet. Naja vlt. bis heute Abend ^^

04.07.2017, 21:23

Dustin

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So, jetzt habe ich mich selber nochmal in aller Ruhe mit der Aufgabe hingesetzt.

Erstens mal komme ich jetzt doch auf deine ursprünglichen Ergebnisse, also um alles so einfach wie möglich zu machen, schreibe ich sie nochmal hin:

$\begin{eqnarray*} T_{1,(-1,0)}=-y+3x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_{1,(-1,0)}=x(x^2e^y-3)+y-2 \end{eqnarray*}$

SO, jetzt zur (c). Wie schon von HAL9000 "vorgewarnt" wurde, muss man sich erstmal klar machen, was überhaupt die rechte Seite
$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \left( (b-a)\cdot \nabla \right) ^2 f(\xi) \end{eqnarray*}$
bedeutet (ich orientiere mich jetzt an der Aufgabenstellung, nicht am Skript!)

Dies bedeutet Folgendes:
$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \left( (b-a)\cdot \nabla \right) ^2 f(\xi)<br /> =\frac 1 2 \left( (b-a)\cdot \nabla \right) \left( (b-a)\cdot \nabla \right) f(\xi)<br /> =\frac 1 2 (b-a) \cdot \nabla \left( (b-a) \cdot \nabla f \right) (\xi)<br /> \end{eqnarray*}$

Die Malpunkte stehen dabei jeweils für Skalarprodukte. In Worten:
Zuerst bildest du den Gradienten von f.
Von diesem bildest du das Skalarprodukt mit (b-a).
Vom Ergebnis bildest du wieder den Gradienten.
Und dieses Ergebnis wieder mit (b-a) skalarmultiplizieren.
Und dann noch mal 1/2 natürlich. Und in das Endergebnis wird dann das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

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