Matrix diagonalisierbar? |
| 03.07.2017, 21:50 | Alex1407 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Matrix diagonalisierbar? Hallo zusammen ;-) ich soll untersuchen, ob folgende Matrix diagonalisierbar ist: Meine Ideen: Mein erster Schritt war zu gucken, ob das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Wir haben hier ja eine 2x2 Matrix, das heißt das charak. Polynom soll 2 Nullstellen haben. Jetzt meine eher triviale Frage dazu: Wenn ich habe, handelt es sich dann um eine einzige Nullstelle oder um eine doppelte Nullstelle? Bleibt es also oder fällt der ganze hintere Term weg und es ist eine einfache Nullstelle? |
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| 03.07.2017, 21:54 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi Alex, das ist dann eine doppelte Nullstelle! LG Dustin |
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| 04.07.2017, 08:31 | Jekyllvshyde | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Matrix diagonalisierbar? Wenn du das charakteristische Polynome ordentlich aufschreibst dann sieht man sofort alle Nullstellen und muss nicht mit der p-q-Formel rumhantieren (so sieht es bei dir zumindest aus) Hoffe es ist alles mathematisch korrekt. Man sieht sofort, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und erkennt auch sofort die doppelte Nullstelle. |
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| 04.07.2017, 08:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrix diagonalisierbar?
Da braucht man gar nicht groß herumrechnen. Man sieht sofort, daß es sich um eine Jordan-Block-Matrix handelt. 
Im Bereich der reellen Zahlen gilt das nicht unbedingt. |
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| 04.07.2017, 10:10 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@klarsoweit Ich war jetzt davon ausgegangen, dass Alex1407 wahrscheinlich stofflich gerade noch bei Diagonalisierbarkeit ist und daher noch gar nicht wissen kann, was ein Jordan-Block ist 
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| 04.07.2017, 10:59 | Alex1407 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo zusammen und vielen Dank für die Antworten! Tatsächlich weiß ich nicht was eine Jordan Block Matrix ist. Bedeutet das, dass die Matrix diagonalisierbar ist oder nicht? Ich würde jetzt weiter vorgehen, in dem ich die Eigenvektoren berechne ? |
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| 04.07.2017, 11:02 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es bedeutet, dass sie es nicht ist, aber wenn du diesen Stoff noch nicht hattest, macht es jetzt glaube ich nicht viel Sinn, darauf näher einzugehen. Also zurück zu deinem Vorgehen:
Genau. Für die Aufgabenstellung reicht auch die Dimension des Eigenraumes. |
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| 04.07.2017, 11:14 | Alex1407 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, ich komme nun auf folgende Schlussfolgerung: [latex]V=\left\{ \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix}\in \mathbb R |\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix} =t*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, t\in \mathbb R \right\} [latex] Die algebraische VFH ist 2, da wir eine doppelte Nullstelle bei 5 haben. Die geometrische VFH ist aber nur 1, da wir nur einen linear unabhängigen Eigenvektor haben, korrekt? |
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| 04.07.2017, 11:17 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(nur deinen Latexfehler korrigiert) Genau! Was heißt das jetzt für die Diagonalisierbarkeit? |
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| 04.07.2017, 11:20 | Alex1407 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke ;-) Meine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn die algebraischen und geometrischen VFH übereinstimmen? Also ist diese Matrix nicht diagonalisierbar. |
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| 04.07.2017, 11:21 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kleinigkeit: R² statt R. |
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| 04.07.2017, 11:21 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig! Aufgabe gelöst
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