Beweisverständnis

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03.07.2017, 22:28

Manuel7237

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Beweisverständnis

Hallo, ich verstehe bei Satz 7.1 nicht wie man auf die Darstellung mit 1=.....
Ist das ein Trick zur Darstellung der 1?

03.07.2017, 22:46

Dustin

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Naja, was heißt Trick... sie gehen da von der Gleichung
$\begin{eqnarray*} t=(\Phi^{-1} \cdot \Phi)(t) \end{eqnarray*}$
aus (was im Buch auch m.E. stehen sollte, aber zu fehlen scheint).
Diese Gleichung ist quasi die Definition einer Umkehrfunktion. Jetzt wird diese auf beiden Seiten nach t abgeleitet und man hat eben diese "Darstellung der 1"
$\begin{eqnarray*} 1=\frac d {dt} (\Phi^{-1} \cdot \Phi)(t) \end{eqnarray*}$ .
LG Dustin
PS: Der Punkt in den Formeln soll eigentlich jeweils ein Kringel sein (der für Hintereinanderschaltung steht), aber ich weiß nicht, wie Latex einen Kringel macht Augenzwinkern

03.07.2017, 22:51

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Dustin
aber ich weiß nicht, wie Latex einen Kringel macht Augenzwinkern

Mit \circ : $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

03.07.2017, 22:54

Manuel7237

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Danke für die Antwort. Die Gleichung gilt, weil eine Parametrisierungstransformation diffeomorph ist oder?
Ich verstehe aber nicht, wie man darauf genau kommt. Muss man das sehen, um es dann später für den egtl Beweis zu gebrauchen?

03.07.2017, 23:59

Dustin

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Zitat:

Danke für die Antwort. Die Gleichung gilt, weil eine Parametrisierungstransformation diffeomorph ist oder?

Bitte

Ja, genau. Wäre sie das nicht, würde die Gleichung auch keinen Sinn ergeben.

Zitat:

Ich verstehe aber nicht, wie man darauf genau kommt.

Mit "darauf kommen" ist es bei mathematischen Beweisen so eine Sache. Viele Beweise, so auch dieser, sind wohl deutlich leichter zu verstehen, als selber darauf zu kommen.

Zitat:

Muss man das sehen, um es dann später für den egtl Beweis zu gebrauchen?

Ja. Der erste Teil des Beweises (bis "Das war nur Vorbereitung.") dient ausschließlich dazu, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \Phi '(t) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Im zweiten Teil geht es dann daran, die Behauptung zu zeigen, dass die umparametrisierte Kurve $\begin{eqnarray*} \bar {c} \end{eqnarray*}$ regulär ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \bar c'(t) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle t gilt. Man kommt (mit der Kettenregel) auf
$\begin{eqnarray*} \bar c'(t)=...=c'(\Phi (t))\cdot \Phi'(t) \end{eqnarray*}$ .
Der erste Faktor ist ungleich Null, weil c nach Voraussetzung regulär ist, und dass der zweite Faktor ungleich Null ist, ist eben im ersten Teil bewiesen worden. Deswegen kann man jetzt argumentieren, dass das Produkt ungleich Null ist und damit $\begin{eqnarray*} \bar c \end{eqnarray*}$ ebenfalls regulär.

PS: Sorry für die späte Antwort, ich hatte etwas Probleme mit LaTex Augenzwinkern

04.07.2017, 00:10

Manuel7237

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Vielen vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Ich habe den Beweis jetzt verstanden smile

Ich wäre selber nie auf diese Darstellung der 1 gekommen. Ich weis nicht, ob man irgendwann ein Gespür dafür bekommt.
Beim Beweis der Behauptung in der letzten Zeile fehlt im Buch bei der Ableitung der Verkettung ein ' für die Ableitung vor dem Nachdifferenzieren. Ich habe mich gewundert, aber du hast den Strich ja auch gemacht. Freude

04.07.2017, 00:36

Dustin82

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Aber gerne doch smile

Zitat:

Ich wäre selber nie auf diese Darstellung der 1 gekommen. Ich weis nicht, ob man irgendwann ein Gespür dafür bekommt.

Wenn man sich oft genug mit Beweisen beschäftigt, hilft das sicher. Es ist ja auch so, dass man, wenn man einen Beweis liest, nicht unbedingt den Gedankenprozess erkennt, wie man auf so einen Beweis kommt. Zum Beispiel: wenn mir die Aufgabe gestellt worden wäre, den Satz im Buch zu beweisen, wäre ich ungefähr so vorgegangen:

Erstmal schreibe ich alle Voraussetzungen und das, was ich zeigen soll, möglichst als Gleichung oder Ungleichung. Hier bedeutet das:
1. Gegeben ist, dass die Kurvenparametrisierung c regulär ist. Das heißt als Ungleichung: $\begin{eqnarray*} c'(t) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle t.
2. Zeigen soll ich analog, dass $\begin{eqnarray*} \bar c'(t) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle t.
3. Umparametrisieren bedeutet, dass ich eine diffeomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ habe mit $\begin{eqnarray*} \bar c =c \circ \Phi \end{eqnarray*}$ . (Danke dem Moderator für die Latex-Nachhilfe! smile

)

Jetzt, wo ich möglichst viele Gleichungen und Ungleichungen habe, geht's los. Ich muss auf $\begin{eqnarray*} \bar c'(t) \neq 0 \end{eqnarray*}$ kommen, also fang ich an zu rechnen:
$\begin{eqnarray*} \barc'(t)=(c \circ \Phi)'(t)=c'(\Phi (t))\cdot \Phi'(t) \end{eqnarray*}$ .
OK, das soll also ungleich Null sein. Ha cool, der erste Faktor ist schonmal ungleich Null, das weiß ich wegen 1. Jetzt muss noch $\begin{eqnarray*} \Phi'(t) \end{eqnarray*}$ ungleich Null sein. Hmmmm das ist nicht so einfach. Was weiß ich denn über $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ? Nur, dass es diffeomorph ist, also umkehrbar und stetig differenzierbar. Umkehrbare Funktionen müssen ja streng monoton steigen oder fallen. Aha, also kann die Ableitung nur größer oder kleiner Null sein, aber nie gleich Null. Aber wie zeige ich das ganz präzise?
...Tja, und dann komme ich eben auf die Idee oder auch nicht Augenzwinkern

Im Prinzip gibt es ja nicht viel, was man mit dem $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ machen kann. Da kann man vielleicht ein bisschen rumprobieren.

Ich meine damit nur, dass der Prozess der Ideenfindung oft ganz anders ist als wie der Beweis dann letztendlich dasteht, wenn man alle Teile zusammen hat.
LG Dustin
PS: Ich bin aus irgendeinem Grund gerade aus meinem Account geflogen, deswegen jetzt als Gast, aber ich bin immer noch derselbe Big Laugh

04.07.2017, 00:40

Dustin

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Da bin ich wieder Augenzwinkern

kann aber meinen Latexfehler nicht editieren, da es ja als Gast war xDD
Da sollte stehen:
$\begin{eqnarray*} \bar c'(t)=(c \circ \Phi)'(t)=c'(\Phi (t))\cdot \Phi '(t) \end{eqnarray*}$ .

Ach ja, und das Buch hat wohl dringend eine Neuauflage nötig xD

04.07.2017, 01:14

Manuel7237

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Vielen Dank für deine Geduld und Hilfe. Freude

Auch dein logisches Vorgehen für einen Beweis finde ich toll. Vielen Dank da für deine Ausfürhlichkeit.
Wenn wir schon dabei sind, können wir vllt nocj einen Beweis mal angehen. Da wird auch wieder etwas definiert, was ich leider nicht verstehe.
Wie kommt man auf die Def. des Integrals?

04.07.2017, 10:05

Dustin

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Auch hier würde ich, wie immer, zuerst versuchen, den Beweis zu verstehen, und mir dann die Frage stellen, wie man selbst darauf kommen könnte.
Hast du den Beweis, so wie er dasteht, verstanden?
Wenn nicht, lass uns erstmal das angehen!!
Wenn ja, dann wollen wir doch jetzt mal zusammen herausfinden, wie man darauf kommen kann:
Unser erster Schritt wäre wieder, uns zusammenzuschreiben, was Voraussetzung und was zu zeigen ist, und all dies möglichst als Gleichung oder Ungleichung auszudrücken.
Gegeben: Eine Kurve c, die
1. rektifizierbar und
2. regulär parametrisiert ist.
3. Zeigen sollen wir, dass es eine Umparametrisierung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \bar c :=c \circ \Phi \end{eqnarray*}$ nach Bogenlänge parametrisiert ist.
Also Frage an dich: Wie bedeuten 1., 2., 3. mathematisch, möglichst in Form einer Gleichung oder Ungleichung?

04.07.2017, 11:23

Manuel7237

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Ich bin noch nicht ganz durch den Beweis durchgestiegen. Also fangen wir mal mit den Definitionen an
Zu 1. Eine Kurve c ist auf einen Intervall [a,b] rektifizierbar, wenn $\begin{eqnarray*} L(c)= sup(\sum\limits_{k=1}^{n} k |c(t_k)-c(t_{k-1}| : k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=t_0<.....<t_n=b \end{eqnarray*}$ das endlich ist. Das ist die Länge der Kurve mit $\begin{eqnarray*} L[c]= \int_a^b |c'(t)| dt \end{eqnarray*}$
Mir ist leider noch nicht klar, was das anschaulich bedeutet.
2. $\begin{eqnarray*} c'(t)\neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle t
Zu 3.) $\begin{eqnarray*} |c'(t)|=1 \end{eqnarray*}$
Wsl kommt das Integral aus 1 in demBeweis?

04.07.2017, 11:36

Manuel7237

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Nochmal zu 1 wegen Anschaulichkeit. Also sowie ich es verstanden habe, dann definiert diese Zerlegung die in die Kurve einbeschriebene Polygonzüge, summiert ergibt das die Länge. Wenn diese Beschränkt ist nach oben durch ein M ist die Kurve rektifizierbar und die Länge M = sup ( von dieser Zerlegung). Sorry etwas unmathematisch.
Wenn diese Zerlegung nicht beschränkt ist, ist die Kurve nicht rektifizierbar. Aber ist dann die Länge unendlich. Oder gibt es keine nach dieser Definiton?

04.07.2017, 11:41

Dustin

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Zitat:

Anschaulich bedeutet das einfach, dass die Kurve endlich lang ist. Eine Gerade ist beispielsweise unendlich lang und damit nicht rektifizierbar, ein Kreis ist endlich lang, also rektifizierbar.

Zitat:

2. $\begin{eqnarray*} c'(t)\neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle t
Zu 3.) $\begin{eqnarray*} |c'(t)|=1 \end{eqnarray*}$

Genau

Zitat:

Wsl kommt das Integral aus 1 in demBeweis?

Anzunehmen, ja. Siehst du, nur durch sauberes Hinschreiben der Voraussetzungen und des zu Zeigenden bist du schon mal einen Schritt weiter!

Wenn du jetzt das im Beweis definierte Integral zunächst einmal einfach "schluckst", verstehst du dann den Rest des Beweises?

04.07.2017, 11:46

Manuel7237

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Ich habe noch was zur Anschaulichkeit ergänzt. Vllt schaust du das nochmal kurz an ob das so stimmt, bitte.

04.07.2017, 11:49

Dustin

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Zitat:

Ja, es geht bei dieser Definition der Länge um Polygonzüge. Stell dir als einfaches Beispiel vor, die Kurve sei ein Kreis. Diesem Kreis beschreibst du ein reguläres Dreieck ein (das ist eben ein solcher Polygonzug). Das Dreieck nähert natürlich den Kreis nur sehr grob an. Wie kann man den Kreis besser annähern? Natürlich durch ein reguläres Viereck, Fünfeck usw. Die Längen dieser n-Ecke nähern sich für große n immer mehr dem Kreisumfang an. Deswegen ist der Kreisumfang (=die Länge des Kreises) gleich dem Suprenum der Menge der Längen all dieser n-Ecke. Genau das ist die Idee der Definition.
(Die n-Ecke müssen nach Definition natürlich nicht unbedingt regulär sein, das war nur zur besseren Vorstellung. Aber auch wenn ich dem Kreis ein beliebiges n-Eck einbeschreibe, kann keines dieser n-Ecke je länger sein als der Kreis, deswegen ist der Kreisumfang nach wie vor das Suprenum der Menge der Längen all dieser n-Ecke.)

04.07.2017, 11:56

Manuel7237

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D.h eine unendliche Länge gibt es nicht?

04.07.2017, 12:24

Dustin

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Das ist eine Frage der Definition. Jedenfalls ist eine Kurve per definition genau dann rektifizierbar, wenn sie eine endliche Länge besitzt, und das ist bei dem Satz, um den es geht, ja Voraussetzung.

04.07.2017, 12:39

Manuel7237

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Also dann zum Beweis:
Die Auswertung des Integrals ist doch $\begin{eqnarray*} |c(s)|-|c(t_0)| \end{eqnarray*}$ Das abgeleitet ist dann wieder $\begin{eqnarray*} |c'(s)|-|c'(t_0)|=|c'(s)| \end{eqnarray*}$ weil die Kurve nach nacj der Bogenlänge parametrisiert ist. Weil sie regulär ist, muss es ungleich 0 sei. Aber warum muss es monoton steigend sein?

04.07.2017, 12:58

Dustin

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Zitat:

Die Auswertung des Integrals ist doch $\begin{eqnarray*} |c(s)|-|c(t_0)| \end{eqnarray*}$ Das abgeleitet ist dann wieder $\begin{eqnarray*} |c'(s)|-|c'(t_0)|=|c'(s)| \end{eqnarray*}$ weil die Kurve nach nacj der Bogenlänge parametrisiert ist.

Der Zwischenschritt - deine Auswertung des Integrals - stimmt so nicht, denn

$\begin{eqnarray*} |c'(t)|=|\frac d {dt} c(t)| \neq \frac d {dt} |c(t)| \end{eqnarray*}$ ,

d.h. man darf das Ableiten (und damit auch das Bilden der Stammfunktion) nicht einfach in die Betragsstriche "reinziehen".

Was aber stimmt, ist das Endresultat

$\begin{eqnarray*} \frac d {ds} \int_{t_0}^{s} \! |c'(t)| \, dt = |c'(s)| \end{eqnarray*}$

nach dem HDI.

Zitat:

Weil sie regulär ist, muss es ungleich 0 sei.

Richtig.

Zitat:

Aber warum muss es monoton steigend sein?

Behauptet wird ja, dass die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} \Psi (s) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigt. Das liegt daran, dass $\begin{eqnarray*} \Psi '(s)=|c'(s)|>0 \end{eqnarray*}$ ist. (Denn negativ kann |c'(s)| wegen der Betragsstriche -die ja hier für eine Vektornorm stehen - nicht sein und gleich Null ebenfalls nicht, wie du ja schon bemerkt hast.)

04.07.2017, 13:37

Manuel7237

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Danke für die Antwort. Ja klar wegen dem Betrag LOL Hammer

Ok dann weiter:
Daraus folgt dass es sicj um eine orientierungserhaltende Parametertransfo handelt, weil $\begin{eqnarray*} \psi'(s)>0 \end{eqnarray*}$
Als nächstes wird wieder etwas definiert. Psi wird als Umkehrfunktion definiert. Wsl deshalb weil eine umparametrisierung diffeomorph ist. Aber warum wird das genau so gesetzt?

04.07.2017, 13:52

Dustin

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Zitat:

Aber warum wird das genau so gesetzt?

Die "mathematisch korrekte" Antwort darauf lautet: Weil es 1. erlaubt ist (was, wie du schon sagst, an der Diffeoorphie liegt) und 2. zum Ziel führt (denn am Ende kommt das raus, was rauskommen soll). Um diese beiden Sachen geht's. Wie man darauf kommt, ist dagegen eine ganz andere Frage. Aber um den Beweis, so wie er dasteht, erst einmal zu verstehen, sollte man sich nicht so lange mit dieser Frage aufhalten Augenzwinkern

04.07.2017, 14:00

Manuel7237

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Ok dann weiter: Dann soll die Kettenregel angwendet werden. Ich sehe die Verkettung aber nicht? verwirrt

04.07.2017, 14:01

Manuel7237

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Der letzte Schritt ist dann klsr. Da wird das vorher erarbeitete eingesetzt und dann folgt die Behauptung.

04.07.2017, 14:04

Dustin

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Verständlich. Es geht da eher um die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}) '(x)=\frac 1 {f'(f^{-1}(x))} \end{eqnarray*}$ .

(Zur allgemeinen Herleitung dieser Formel wird u.a. die Kettenregel verwendet, vielleicht meinen sie das. Aber das ist m.E. nicht sehr klar herausgestellt in dem Buch.)

04.07.2017, 14:11

Manuel7237

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Aso die Formel konnte man leider nicht sehen, aber ich weis was du meinst. Bisschen schwammig alles.so in dem Buch. Ok dann verstehe ich alles. Aber die Frage bleibt. Wie kommt auf diese Integraldefinition und dann dieses Setzen mit der Umkehrfunktion?

04.07.2017, 14:32

Dustin

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Habs editiert. Manchmal ist es gar nicht so einfach, Latex' Problem zu verstehen Big Laugh

OK. Also, wie kommt man drauf? Wir suchen ja für den Beweis eine Umparametrisierung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ , sodass die umparametrisierte Kurve jetzt die Bedingung $\begin{eqnarray*} |\bar c'(t)|=1 \end{eqnarray*}$ für alle t erfüllt.

Also können wir schon mal hinschreiben:
$\begin{eqnarray*} |\bar c'(t)| = |(c \circ \Phi)'(t)| = |c'(\Phi (t)) \cdot \Phi '(t)| =1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn man das jetzt nach $\begin{eqnarray*} |\Phi '(t)| \end{eqnarray*}$ umstellt, kann man vielleicht mit viel Phantasie die Analogie zur Formel der Ableitung der Umkehrfunktion erkennen und daraus schließen, dass es Sinn machen kann, das Phi als Umkehrfunktion einer anderen Funktion zu schreiben. Der gedankliche Prozess wäre dann quasi genau andersherum, als wie der fertige Beweis dasteht. Man schreibt hin, was rauskommen soll, und dann muss man seinen Grips anstrengen und sich überlegen, was man wie definieren muss. In diesem Fall finde ich es deutlich schwieriger als bei dem ersten Beweis, selber darauf zu kommen.

Es hilft da ungemein, wenn man bereits eine anschauliche Vorstellung davon hat, wie eine Parametrisierung nach Bogenlänge aussehen muss. Dann hat man eine Grundidee, die man mathematisch hinschreiben und daran ein wenig rumbasteln kann.

Also kurzes Fazit: Manche Beweisideensind schlicht mehr oder weniger geniale Ideen, die ein schlauer Mathematiker einmal hatte. Diesen Beweis dann zu verstehen und als Buchautor abzutippen, ist wesentlich einfacher als sich die Frage zu stellen, wie dieses Genie damals eigentlich darauf gekommen ist Augenzwinkern

Und ich denke, in diesem Fall ist es genau so (zumindest für mich).

04.07.2017, 14:36

Manuel7237

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Ok nochmals danke für die lange Antwort. Also wenn man hinschreibt, was man alles für Vorauasetzungen hat und was man beweisen will, dann hat man schon ein gutes Gerüst um vllt auf eine Idee zu kommen.
Trotzdem ist es Integral noch mein Problem. Wie würdest du das erklären?

04.07.2017, 14:40

Dustin

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Dass man es deshalb so definiert, wie man es definiert, weil dann am Ende das gewünschte Ergebnis herauskommt. Big Laugh

04.07.2017, 14:43

Manuel7237

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Denkst du man müsste auf sowas in einer Klausur z.b kommen?

04.07.2017, 14:44

Dustin

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Es handelt sich übrigens nicht um ein einfaches Integral, sondern um eine Integralfunktion, da die obere Integrationsgrenze variabel ist.