Stationäre Punkte und Minimum/Maximum |
04.07.2017, 11:43 | PhysX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stationäre Punkte und Minimum/Maximum Ich hab folgende Aufgabe gegeben: [attach]44824[/attach] ich habe bereits die partiellen Ableitungen gebildet: Die stationären Punkte ermittel ich ja soweit ich weiß indem ich: setze, also mit Ich habe jedoch schwierigkeiten die stationären Punkte mit solch einer Funktion zu berechnen.. Zum anderen Teil: Das Minimum/Maximum kann ich ja mit der Hesse-Matrix bestimmen, also: Aber hier muss ich ja letzendlich auch meine stationären Punkte einsetzten.. Für Hilfe wäre ich sehr dankbar! lg |
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04.07.2017, 12:18 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi PhysX, OK, du hast ein paarmal x und y verwechselt, ich gehe mal davon aus, dass das nur beim Abtippen passiert ist. Wir haben also zur Berechnung der stationären Punkte: . Daraus folgt jetzt aber NICHT, wie du schreibst, , sondern nur . Um jetzt weiterzukommen, braucht man ein bisschen Trigonometrie: 1. Die Additionstheoreme könnten von Nutzen sein. 2. Aus folgt einer der beiden Fälle: Fall 1: , in diesem Fall wäre . Fall 2: , in diesem Fall wäre . Damit kommst du jetzt bestimmt schonmal weiter. LG Dustin |
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04.07.2017, 13:10 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eigentlich nicht nötig, wenn man in analoger Weise auflöst, wie du es bei in die Fälle 1 und 2 getan hast - scheint mir weniger Rechnerei zu sein. |
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04.07.2017, 13:26 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@HAL9000: Stimmt Ich hatte auch nach einer einfacheren Lösung gesucht und in weiser Voraussicht "könnte" im Konjunktiv geschrieben |
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04.07.2017, 15:14 | PhysX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm also ich bin leider nicht wirklich weiter gekommen :/ kann man nicht schon sagen, dass automatisch ein stationärer Punkt ist, da hier der Gradient mit, ist? Wenn wir nun betrachten, resultieren ja 2 Fälle mit 1) 2) Fall 2 führt ja zu Null. Der erste hingegen auf: bzw. und daraus resultiert die Punkte: Wenn wir nun bspw: in die Hesse Matrix einsetzen erhalten wir mit die Eigenwerte -> Maximum Für den anderen also Die Eigenwerte: -> Minimum Ich bin verwirrt |
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04.07.2017, 15:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn man alles richtig, gründlich und vollständig durchzieht, kommt man auf die stationären Punkte a) b) c) und das alles für beliebige . Speziell c) muss man allerdings hinsichtlich der Charakteristik der Extremstellen nochmals unterteilen in die vier Kreuzkombinationen gerade/ungerade mit gerade/ungerade. |
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04.07.2017, 16:25 | PhysX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich versuche es jetzt mal irgendwie ordentlich hinzubekommen. Wenn wir nun betrachten, resultieren ja 2 Fälle mit 1) 2) Der erste führt auf: bzw. und daraus resultiert die Punkte: Der zweite Fall hingegen auf: sinx = siny=0 Ich definiere erstmal: sind ungerade, und gerade mit Damit nun gilt, muss gelten bzw. daraus folgt: und Also Mit den vier "Kreuzkombinationen" zwischen gerade und ungerade folgen: Wenn ihr Verbesserungsvorschläge hättet wäre ich sehr dankbar. Eventuell habe ich etwas übersehen. Wie mache ich das nun mit dem Maximum / Minimum, war das den wenigstens in irgend einer weise richtig ? |
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04.07.2017, 20:40 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das meiste stimmt jedenfalls! Gehen wir mal Schritt für Schritt durch:
Richtig.
Hier unterschlägst du allerdings den Fall sin(x)=0 (su teilst einfach bedenkenlos durch sin(x), ohne zu bedenken, dass sin(x)=0 sein könnte!) Dadurch bekommst du weitere stationäre Punkte sowie . (Ich habe hier deine Definition übernommen, dass ungerade und gerade sind. Da sein soll, müssen x und y entweder beide geradzahlige oder beide ungeradzahlige Vielfache von pi sein.)
Hier bin ich nicht ganz einverstanden. Wie kommst du auf und ??? Aus sin(x)=sin(y)=0 folgt, dass x und y beide ganzzahlige Vielfache von pi sind, da außerdem gelten soll, führt das auf die stationären Punkte . Letztlich bilden die jetzt von mir angegebenen vier stationären Punkte (genauer: Punktmengen) genau die vier "Kreuzkombinationen", von denen HAL9000 sprach und die du auch angegeben hast (wobei du, glaube ich, dabei mit den k's und l's ganz schön durcheinander gekommen bist). Insgesamt haben wir jetzt also sechs Klassen von stationären Punkten (die natürlich jeweils aus unendlich vielen Punkten bestehen)! Beim Einsetzen in die Hesse-Matrix hast du soweit alles richtig gemacht. Das musst du jetzt eben mit allen sechs Punktmengen machen. LG Dustin |
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04.07.2017, 21:25 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wobei alle diese Lösungen eine Teilmenge der Lösungen von Fall 2) sind, und damit diese Unterlassung keine weiteren Auswirkungen hat. Man sollte natürlich dennoch gründlich arbeiten, denn man hat nicht immer so ein Glück. |
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04.07.2017, 21:29 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@HAL9000: Witzigerweise habe ich das auch erst gedacht, bin aber inzwischen anderer Meinung. Unter den stationären Punkten gehören diejenigen, bei denen k und l gleiche Parität haben, ausschließlich zu Fall 1, die anderen ausschließlich zu Fall 2. Es gibt also m.E. keine Überschneidungen beider Fälle. |
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04.07.2017, 21:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah Ok, da war ich etwas leichtsinnig ... hast natürlich Recht. |
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04.07.2017, 22:00 | PhysX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Erstmal vielen vielen Dank! Ich werde morgen weiter machen, und kann dann meine Lösungen zeigen |
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04.07.2017, 22:01 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mach das |
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05.07.2017, 14:54 | PhysX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da bin ich wieder. Ich packe das ganze jetzt mal alles zusammen ... Es folgt . Sei sind ungerade, und gerade mit Wenn wir nun betrachten, resultieren 2 Fälle mit 1) 2) Der erste Fall führt auf: Wir betrachten zunächst: . Hierbei ist zu beachten, da gelten soll, dürfen x und y beide entweder nur ganzzahlige oder ungeradzahlige Vielfache von sein. Daher folgen die stationären Punkte: und . Aus: . resultieren die Punkte: Wir betrachten nun den 2. Fall Dieser führt auf: Daraus folgt, dass und beide ganzzahlige Vielfache von sind, da zudem hierbei gelten soll, resultieren die stationären Punkte: . Zusammengefasst lauten die stationären Punkte unserer Funktion: Hoffe ich habe nichts vergessen |
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05.07.2017, 15:05 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig. Nun fehlen noch die Einstufungen der stationären Punkte hinsichtlich Minimum/Maximum/Sattelpunkt gemäß Hesse-Matrix, zumindest für die Punkte, die du gestern in deinem Beitrag 15:14 noch nicht erfasst hattest. |
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05.07.2017, 15:06 | PhysX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ich bin gerade dabei |
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05.07.2017, 15:21 | PhysX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich mache das hier nun mit dem Maximum/ Minimum. Für resultiert: (Ich habe hier mal für und für genommen) Daraus folgt: . Daraus folgen die EW: -> Minimum Für (Hierbei auch und für ) Daraus folgt die selbe Matrix und die gleichen Eigenwerte also: -> Minimum (Für k, l = 1) Daraus resultiert die Matrix: EW: -> Sattelpunkt Für mit k,l=2 EW: - Maximum. mit k=1 und l=2 EW: -> Minimum mit k=2 und l=1 EW: -> Sattelpunkt Das Sattelpunkte resultieren wurde gar nicht erwähnt, es wurde ja eig nur gesagt das man nach Minimum oder Maximum unterscheiden soll xD Oder es wurde vergessen.. |
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05.07.2017, 17:28 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich stimme mit dir (wortwörtlich) in allen Punkten überein, mit Ausnahme von , da komme ich jeweils auf und beides sind Stattelpunkte. (Aus Symmetriegründen kann es auch gar nicht sein, dass für P5 und P6 unterschiedliche Ergebnisse herauskommen!) |
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05.07.2017, 17:38 | PhysX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok hab meinen Fehler entdeckt. Damit kommt nun das gleiche wie bei Dir raus |
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05.07.2017, 17:54 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tschakka |
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05.07.2017, 18:05 | PhysX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nochmal vielen Dank für die Hilfe |
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05.07.2017, 18:53 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Büdde |
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