Fundamentalsystem DGL

04.07.2017, 15:51

Tom_12

Fundamentalsystem DGL

Meine Frage:
Hallo,
es geht in einer Aufgabe um eine homogene linerae DGL 2. Ordnung $\begin{eqnarray*} y''+a_{1} (t) y' + a_{0} (t) y=0, t \in I \end{eqnarray*}$ . Man soll zeigen, dass zwei Lösungen $\begin{eqnarray*} y_{1} , y_{2} \end{eqnarray*}$ , die eine gemeinsame Nullstelle $\begin{eqnarray*} t_{0}\in I \end{eqnarray*}$ haben, kein Fundamentalsystem bilden können.

Meine Ideen:
Kann man irgendwie zeigen, dass es eine Lösung gibt, die in $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle besitzt? Dann würde ja direkt aus der Definition folgen, dass $\begin{eqnarray*} y_{1}, y_{2} \end{eqnarray*}$ kein Fundamentalsystem bilden.

Ich hatte es auch schon mit der Wronski-Determinante versucht: Wir haben in der Vorlesung gezeigt, dass man ein Fundamentalsystem hat, wenn die Wronski-Determinante in einem Punkt (und damit in allen Puntken) ungleich 0 ist. Aber hier brauche ich ja die Umkehrung...

Irgendwelche Ideen? verwirrt

05.07.2017, 09:30

Dustin

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Hi Tom_12,
ich habe mich mit deiner Frage beschäftigt und habe eine Idee, auch wenn ich nicht genau weiß, ob sie funktioniert, aber bevor du gar keine Antwort bekommst, ist das sicher besser als nichts Augenzwinkern

Also: So eine Aussage der Form "zeige, dass dieses oder jenes nicht sein kann" zeigt man normalerweise durch Widerspruchsbeweis. Wir nehmen also an, $\begin{eqnarray*} y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ bilden doch ein FS der DGL.

Meine Idee ist jetzt eigentlich ganz einfach: Diese Annahme würde bedeuten, dass JEDE Lösung der DGL eine Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ hat. Das wiederum würde bedeuten, dass alle Anfangswertprobleme mit $\begin{eqnarray*} y(t_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ unlösbar sind. Ich weiß jetzt eben nur nicht genau, ob wir daraus ohne genauere Kenntnisse über die "Koeffizientenfunktionen" $\begin{eqnarray*} a_1(t),a_0(t) \end{eqnarray*}$ einen Widerspruch zum Satz von Picard-Lindelöf herstellen können.

Hoffe, ich konnte dir trotzdem helfen smile

LG Dustin

05.07.2017, 16:00

Tom_12

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Danke, gute Idee. smile

Ich denke, man braucht hier den Satz von Peano, nicht Picard-Lindelöf. Lipschitz-Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} a_{ 0 }, a_{1} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht gegeben; man soll sicherlich nur Stetigkeit voraussetzen. Das reicht ja aber auch schon, da wir nur die Existenz der Lösung wollen, nicht die Eindeutigkeit.

Aber ob es auch ohne diesen Satz geht? verwirrt

05.07.2017, 17:35

Dustin

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Zitat:

Lipschitz-Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} a_{ 0 }, a_{1} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht gegeben; man soll sicherlich nur Stetigkeit voraussetzen.

Auch das müsste aber dann unmissverständlich in der Angabe stehen. Mathematik ist schließlich ene exakte Wissenschaft, da kann man nicht einfach mal irgendwas annehmen Big Laugh

Zitat:

Aber ob es auch ohne diesen Satz geht? verwirrt

Wieso sich darüber den Kopf zerbrechen, wenn es mit ihm geht? Dazu hat sich doch der gute Herr Peano so viel Mühe gegeben, damit wir mit seinem Satz auch was anfangen können Augenzwinkern

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