Hauptwerk und Residuen

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karaoglan Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptwerk und Residuen
Meine Frage:
Berechne folgenden Hauptwert mit Hilfe des Residuensatzes:


Meine Ideen:


Meine Frage ist jetzt
Wo ist der Unterschied zwischen dem ersten Teil meines Ansatzes und dem 2 teil, also der unterschied zwischen dem integral und der Summe. Bei beiden mUSS ich doch das residium ausrechnen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst unterscheiden zwischen (Summation über Singularitäten innerhalb des Gebiets) und (Singularitäten auf Gebietsrand). Beachte die unterschiedlichen Vorfaktoren und !!!
karaoglan Auf diesen Beitrag antworten »

Also nehmen wir das bsp 2 mit dem cos.
Da würde ich nur für das integral bekommen
2*pi*i weil ich das residium eines pol n ter Ordnung ausrechne. Das heißt 2 mal ableiten und den z gegen den pol 0 laufen lassen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso zweimal ableiten? hat an der Stelle einen Pol erster Ordnung, erkennbar an der Potenzreihenentwicklung von .
karaoglan Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich habe als Tipp hier stehen 2 mal ableiten deswegen.
Das heißt um das integral zu lösen muss ich es gleich
2*pi*i *Res setzen
Da das Res dann 0 ist ist dieser Teil dann 0?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib mal bitte exakt mit Gleichungen auf, was du gerade wie berechnen willst. Dieses dein "das Integral" (welches Integral?) und "2*pi*i*Res" (welches Res?) ist mir zuviel Wischi-Waschi, als dass ich deine Fragen mit "ja" oder "nein" beantworten könnte. unglücklich
 
 
karaoglan Auf diesen Beitrag antworten »



Für das Integral :



Um dieses Integral zu lösen muss ich den Resiudensatz anwenden. Ich hatte in meinen Notizen den Tipp zweimal ableiten, deswegen habe ich den Resiudensatz für einen Pol 3 ter ordnung genommen. Da dies aber anscheindend falsch ist, d.h wir haben hier einen Pol erster ORdnung, benutze ich folgendes Resiuum:



???
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt verstehe ich weder deine Symboliken noch deine Rechnungen. Jedenfalls ist




Was es mit deinen Hauptwerten von Integralen über Kurven mit Singulären Punkten darauf so auf sich hat, davon habe ich keine Ahnung. Deinen Eröffnungsbeitrag habe ich so gedeutet, dass damit evtl.



gemeint sein könnte, gültig für einfach zusammenhängende Gebiete (d.h. die auf dem Gebietsrand liegenden Residuen werden "halb" so stark angerechnet wie die im Innern liegenden) und wobei die Summationen jeweils über die Singularitäten von laufen. Weiß nicht, ob das so gemeint ist, vielleicht täusche ich mich da ja auch.
karaoglan Auf diesen Beitrag antworten »

Das heist der erste Teil ist für Resiuden auf dem Rand under der zweite Teil für innere Resiuden.
Wir haben ja in diesem Bsp |z+1|=1, das heist der Rand wäre hier 1 oder?
Und da die Singulariät 0 im inneren liegt und es keine weiteren Singularität (weder Rand noch inneren gibt) ist das Gesamtintegral pi*i/2 ?

Super vielen vielen Dank !!!!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von karaoglan
Wir haben ja in diesem Bsp |z+1|=1, das heist der Rand wäre hier 1 oder?

Ich verstehe wieder nicht, was du mit diesem Satz sagen willst: "Rand wäre hier 1" - was soll das bedeuten? Kannst oder willst du dich nicht exakt ausdrücken? unglücklich

Fakt ist, dass Singularität doch auf diesem Rand liegt, denn es ist nun mal

Zitat:
Original von karaoglan
Das heist der erste Teil ist für Resiuden auf dem Rand under der zweite Teil für innere Resiuden.

In meiner Summenanordnung ist es umgekehrt, da ist die erste Summe für die inneren Residuen (die in , dem Inneren des Gebiets ) und die zweite Summe für die auf dem Rand .
karaoglan Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer
Habe falsch gedacht, tut mir leid.
Also ich hab auch das Ergebnis mittlerweile:
Nach den Lösungen ist der erste Teil 0 und der zweite Teil gleich pi*i/2.
Da z=0 auf dem RAnd liegt und es keine inneren Singularitäten gibt , ist dann klar warum der erste Teil 0 ist.
Was offen bleibt, ist das hier das Residium für ein Pol der Ordnung n genommen wurde :/
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Jedenfalls ist



Zitat:
Original von HAL 9000

.

Stand alles da, man muss natürlich die Augen aufmachen.
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