Anwendung des Lemma von Schwarz

Neue Frage »

Charlyyn Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung des Lemma von Schwarz
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich habe mal eine Frage zur folgenden Aufgabe:

Zeige: Ist biholomorph mit und , dann folgt:
für ein .

Meine Ideen:
Klar ist aufjedenfall das ich dies am besten mit dem Lemma von Schwarz zeigen kann, welches wir in unserem Skript wie auf dem angehängten Bild definiert haben.

Der erste Teil is ja aufjedenfall gegeben, da f schonmal biholomorph von der Einheitskugel auf die Einheitskugel abbildet.
Was mir also noch für den zweiten Teil fehlt, dass es ein gibt mit .
Darauf muss ich ja irgendwie kommen durch die vorraussetzung das ist , also klar ist das f schonmal keine konstante sein kann, da sonst die ableitung in jedem punkt 0 wäre und nicht 1. Aber irgendwie bin ich grad zu blöd da die Überleitung zu finden...

Würde mich über jegliche Denkanstöße sehr freuen!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Argumentiere mit der Cauchy Integralformel für f'(0). Damit kannst du dann argumentieren, dass so ziemlich jedes z_0 zulässig ist.
Charlyyn Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige die späte Antwort, aber ich kann den Zusammenhang leider noch nicht ganz verstehen :/

Also die Cauchy Integralform für die Ableitung ist ja wie folgt gegeben:


also in diesem Fall hier :

aber wie kann ich damit darauf schließen das es ein gibt mit , das ist mir leider noch nich klar verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, dass . Damit also Gleichheit gilt, muessen alle Ungleichungen bereits Gleichheiten sein. Das hat Konsequenzen fuer .
Charlyyn Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für den Tipp.

Das erste "" folgt doch aus biholomorphie von f (insb. stetig).

Das zweite "" gilt doch nach Caratheodory´s Abschätzung für die Ableitung.

Doch die Konsequenzen für |f(z)| sehe ich leider noch nicht,
also ich ich könnte es noch umstellen zu , aber einen Mehrwert sehe ich dadurch leider auch nicht verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte du sollst zeigen. Ich sehe nicht wie du das mit Caratheodory abschaetzen kannst (weiss auch nicht wirklich was du damit meinst.)

Nach Schwarz, dem ersten Teil, wissen wir, dass , also ist . Jetzt kann man etwas kürzen und das Integral auswerten.

Ich sehe gerade, dass ein Widerspruchbeweis wohl einfacher wäre. Du willst zeigen, dass für ein gilt. Du weisst, dass gilt. Angenommen es gilt nirgendwo die gewuenschte Gleichheit. Dann gilt . Jetzt kann man das Integral mit einer scharfen Ungleichung abschaetzen und einen Widerspruch bekommen.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne daß ich jetzt diesen Thread im einzelnen durchgearbeitet hätte, kann doch Folgendes nicht sein.

Zitat:
Original von IfindU
.


Es gibt keine Dreiecksungleichung für komplexe Kurvenintegrale im üblichen Sinn. So etwas geht nur, wenn über eine reelle Variable integriert wird, der Integrand darf natürlich komplexe Werte haben. Hier aber scheint mir eine komplexe Variable zu sein. Das ergibt keinen Sinn.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Da wurde der Betrag um vergessen. Man muss zum nicht-orientierten Kurvenintegral übergehen, wenn man die Dreiecksungleichung benutzt.

Noch eine Anmerkung: Eine der Forderungen "Biholomorphie" bzw. ist überflüssig. Zusammen mit den anderen Voraussetzungen impliziert das eine jeweils das andere.

Edit: Holomorphie braucht man natürlich trotzdem.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden. Natürlich habe ich das ausdruecken wollen. In Gedanken hatte ich das Kurvenintegral als Integral als Bild über die Kurve mit Hausdorffmaß interpretiert. Da stimmt die Welt noch Big Laugh
Charlyyn Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmal für die Tipps!

Leider jedoch ist mir grade nochmal aufgefallen das ich diese Ungleichung noch nicht ganz nachvollziehen kann:


Denn wenn ich darauf die Couchy Formel für Kreisscheiben anwende ( gegeben durch: )

Dann erhalte ich doch:
nach Vorraussetzung, oder was mache ich falsch?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein komplexes Integral mehr. Der CAUCHY Integralsatz findet also keine Anwendung mehr.

Allerdings integrierst du ueber die Menge . Darauf ist konstant und insbesondere ist das Integral sehr leicht zu bestimmen.
Charlyyn Auf diesen Beitrag antworten »

Ohja sorry hab da irgendwie paar Sachen durcheinander gebracht, aber dann isses jetzt natürlich klar!

Danke dir für deine Geduld! smile
Bernoulli111 Auf diesen Beitrag antworten »

Sitze gerade an einer änhlichen Aufgabe und habe hier noch ein kleines Fragezeichen, müsste nach dem letzten Post dann nicht gelten, dass:




was ja dann ist für und nicht was ja eigentlich zu zeigen ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Reparieren wir erst einmal die Formulierung, die Leopold zu recht kritisiert hat.

Wir wollen das Integral , wobei das ein zwei-dimensionales Integral ist. Allgemein gilt , wobei die Laenge der Menge misst. Zusammen mit de Lineritaet des Integrals und dem Wissen ueber Kreisumfanege, bekommt man raus, dass das Integral immer 1 ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »