gDGL mit nichtlinearen Vorfaktoren lösen

06.07.2017, 11:48	Matherialist	Auf diesen Beitrag antworten »
gDGL mit nichtlinearen Vorfaktoren lösen Meine Frage: Guten Tag, Ich habe folgende Aufgabe: Bestimmen sie die Lösung der geöhnlichen homogenen linearen Differentialgleichung $\begin{eqnarray} (1-x^2)y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=0, 0<x<1 \end{eqnarray}$ zweiter Ordnung. a) Bestimmen Sie eine homogenen Lösung $\begin{eqnarray} y_1(x) \end{eqnarray}$ . b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Hinweises und der bekannten Lösung $\begin{eqnarray} y_2(x) \end{eqnarray}$ die andere homogene Lösung $\begin{eqnarray} y_{2}(x) \end{eqnarray}$ Hinweis: Es sei die lineare homogene DGL 2ter Ordnung $\begin{eqnarray} y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=0 \end{eqnarray}$ gegeben. Seine $\begin{eqnarray} y_1(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2(x) \end{eqnarray}$ homogene Lsgs dieser DGL. Dann lässt sich die homogene DGL 2ter Ordnung über: $\begin{eqnarray} y_1(x)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(x)=d exp(-\int a_1(x)dx) , d\in \mathbb R \end{eqnarray}$ in eine lin. homogene DGL erster Ordnung überführen. Darauf kann der Ansatz der Variation der Konstanten angewandt werden. $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{x^2(1-x^2)}dx=-\frac{1}{x}-\frac{1}{2}log(\frac{1-x}{1+x}) \end{eqnarray}$ c) Überprüfen Sie, ob Ihre allgemeine Lösung die Differentialgleichung erfüllt. Meine Ideen: Ok. Nun fehlt mir hier bereits der Ansatz. Bei konstanten Vorfaktoren würde ich einfach das charakteristische Polynom bilden. Kann ich das hier einfach so machen und alle $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ mit den entsprechenen $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ tauschen? Aber auch dann würde ich nur y_1 rausbekommen. Wie könnte ich demnach y_2 rausbekommen? Für den Hinweis dürfte ich keinen Vorfaktor vor y'' haben. Da würde ich einfach durch 1-x^2 teilen. Wären unschöne Trme. Aber ich glaube das würde es tun. Dann die zweite Gleichung des Hinweises nehmen und y_1 bzw y_2 als Vorfaktoren nutzen. So dann y_2 rausbekommen. Wenn dies so richtig ist. Aber hierfür müsste ich wissen, wie ich die a) lösen kann. Vielen Dank im Voraus und beste Grüße - Matherialist
06.07.2017, 20:20	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gDGL mit nichtlinearen Vorfaktoren lösen Kann ich das hier einfach so machen und alle $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ mit den entsprechenen $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ tauschen? ->nein , hier geht das nicht so, die Faktoren sind nicht konstant. Hierbei geht es um das Reduktionsverfahren von d'Alembert. zu a) Lösung durch scharfes Hinsehen (ist bei dieser Methode so) $\begin{eqnarray} y_{1} =x \end{eqnarray}$ zu b) Variation der Konstanten: $\begin{eqnarray} y=D(x) y_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y ' =D'(x) y_{1} +D(x) y_{1}' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y '' =D''(x) y_{1} +2 D'(x) y_{1}' +D(x) y_{1}'' \end{eqnarray}$ das mußt Du in die DGL einsetzen. Weiter kommst Du mit Trennung der Variablen.
07.07.2017, 07:43	Matherialist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gDGL mit nichtlinearen Vorfaktoren lösen Wieso kann ich D'Alembert nutzen? Gilt bei D'Alambert nicht auch: $\begin{eqnarray} 1y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+a_{n-2}(x)y^{n-2}...=0 \end{eqnarray}$
07.07.2017, 16:18	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gDGL mit nichtlinearen Vorfaktoren lösen Du kannst d'Alembert ohne Einschränkungen nutzen. Wenn Du $\begin{eqnarray} y ,y' ,y '' \end{eqnarray}$ in die DGL eingesetzt hast , bekommst Du $\begin{eqnarray} D'' (x-x^3) +D' (2 -4 x^2)=0 \end{eqnarray}$ Substituiere nun: $\begin{eqnarray} w=D' , w'=D'' \end{eqnarray}$ und Du bekommst dann das angegebene Integral in dem Hinweis.

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