Störfunktion DGL 2

06.07.2017, 15:15

ben-h

Störfunktion DGL 2

Meine Frage:
Hallo an alle,

ich habe als Störfunktion g(x)= x^2*e^x
Suche nach dem partikulären Ansatz.

Meine Ideen:
Mit g(x)=g(x1)*g(x2) als Ansatz
und g(x1)=x kann ich die Aufgabe lösen.
Allerdings schaffe ich es nicht beide Funktionen mit dem x^2 zu verbinden.

Wie lautet der partikuläre Ansatz dieser Funktion?

Vielen Dank für eine Idee!

06.07.2017, 15:17

HAL 9000

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Es wäre extrem hilfreich, auch die zugehörige DGL zu nennen - womöglich liegt ja Resonanz vor!

06.07.2017, 15:35

ben-h

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Die DGL lautet

y''+10y'=x^2*e^x

06.07.2017, 15:39

HAL 9000

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Ok, Resonanz scheint nicht vorzuliegen. Dann einfach Ansatz $\begin{align*} y_p = (Ax^2+Bx+C)e^x \end{align*}$ mit quadratischem Polynom $\begin{align*} (Ax^2+Bx+C) \end{align*}$ einfach weil auch der Polynomfaktor in der Störfunktion $\begin{align*} x^2e^x \end{align*}$ quadratisch ist.

06.07.2017, 15:45

ben-h

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Der Ansatz ist doch aber bei einer Störfunktion der Form
g(x) = g(x1)*g(x2)
das jeweils beide gesondert betrachtet werden.
Dabei ist meine g(x1) = x^2
und damit der yp= x^2(Ax^2+Bx+C)
und g(x2) = e^x
und damit yp = Ax*e^x

Habe ich einen Denkfehler?
Wie kommst du auf

yp = e^x(Ax^2+Bx+C)

06.07.2017, 15:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von ben-h
Der Ansatz ist doch aber bei einer Störfunktion der Form
g(x) = g(x1)*g(x2)
das jeweils beide gesondert betrachtet werden.

Vielleicht meinst du die Summe g(x) = g(x1) + g(x2) , da mag das zutreffen. Beim Produkt ist das einfach nur grober Unfug! Forum Kloppe

Zitat:

Original von ben-h
Wie kommst du auf

yp = e^x(Ax^2+Bx+C)

Ausprobieren statt ewig rumdiskutieren!

06.07.2017, 15:54

ben-h

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[attach]44834[/attach]

06.07.2017, 15:55

ben-h

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Ganz untern als Hinweis angegeben

06.07.2017, 16:06

HAL 9000

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Anscheinend kannst du die Tabelle nicht richtig lesen:

$\begin{align*} x^2 \end{align*}$ ist ein Polynom zweiten Grades, also ist $\begin{align*} g_1(x) \end{align*}$ als Polynom zweiten Grades anzusetzen: $\begin{align*} g_1(x)=Ax^2+Bx+C \end{align*}$

$\begin{align*} e^x \end{align*}$ ist eine Exponentialfunktion, also ist $\begin{align*} g_2(x) \end{align*}$ als entsprechende Exponentialfunktion anzusetzen: $\begin{align*} g_2(x)=De^x \end{align*}$ (wir sind in Fall 1 "keine Resonanz").

Nun ist bei der Produktbildung das $\begin{align*} D \end{align*}$ überflüssig, weil es bereits mit den Parameter $\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ abgefrühstückt wird. Und schon sind wir bei meinem Ansatz.

Der Hinweis mit dem Produkt $\begin{align*} g_1(x)*g_2(x) \end{align*}$ ist in der Allgemeinheit auch gar nicht richtig: Es darf nur $\begin{align*} g_1 \end{align*}$ aus der ersten Zeile (Polynom) mit $\begin{align*} g_2 \end{align*}$ aus der zweiten oder dritten Zeile (Exponentialfunktion oder Winkelfunktion) derart kombiniert werden. Eine Kombination von $\begin{align*} g_1 \end{align*}$ als Exponentialfunktion und $\begin{align*} g_2 \end{align*}$ als Winkelfunktion kann gutgehen, in den Resonanzfällen geht es i.d.R. schief. Insofern mag zwar die Absicht, die hinter dieser Tabelle steht, gut sein, die Ausführung ist aber schlecht.

Der Unfug hier

Zitat:

Original von ben-h
rachtet werden.
Dabei ist meine g(x1) = x^2
und damit der yp= x^2(Ax^2+Bx+C)
und g(x2) = e^x
und damit yp = Ax*e^x

basiert jedenfalls nicht auf dem Scan.

Du hast jedenfalls wichtige zum Scan gehörende Teile weggelassen: Dass es nämlich um die DGL $\begin{align*} y'' + ay + b = g(x) \end{align*}$ geht, mit charakteristischer Gleichung $\begin{align*} \lambda^2 + a\lambda + b = 0 \end{align*}$ mit den beiden Lösungen $\begin{align*} \lambda_1,\lambda_2 \end{align*}$ , im Komplexfall $\begin{align*} \alpha \pm j\omega \end{align*}$ . Diese Dinge sind aber wichtig, um den richtigen Fall jeweils auszuwählen - du hast geradezu notorisch immer in die falschen Zeilen gesehen (nämlich den Resonanzfall, der hier aber gar nicht zutrifft). unglücklich