Komplexes Integral lösen

07.07.2017, 16:29

KonverDiv

Komplexes Integral lösen

Hi zusammen,

ich habe eine Frage zur komplexen Integration. Ich möchte diesen Ausdruck integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! e^{(-a-iw)x} \, dx \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{(-a-iw)x}}{-a-iw} \end{eqnarray*}$

komplex konjugiert erweitern:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{(-a-iw)x}}{(-a-iw)} \frac{(-a+iw)}{(-a+iw)} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(-a+iw)e^{(-a-iw)x}}{a^{2} + w^{2} } \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Danke für eure Hilfe

07.07.2017, 17:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

"Komplexes Integral" ist etwas irritierend. Das ist ein reelles Integral mit komplexen Werten. Dein Ansatz soll wohl eine Stammfunktion darstellen. Die Rechnung dazu stimmt so weit. Konvergenz sehe ich aber nur für $\begin{align*} a>0 \end{align*}$ .

07.07.2017, 17:41

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Cool danke für deine Antwort.

Ein bekannter Integral Rechner liefert mir jedoch immer eine Lösung ohne Konjugiert Komplexe Erweiterung. Ich bin jetzt recht verwirrt, wenn ich ehrlich bin...

Eigentlich geht es um eine Fourier Transformation von

$\begin{eqnarray*} f(t) = e^{-at}, t>=0 \end{eqnarray*}$

Als Lösung wird dort auch nur diese Vereinfachung angegeben, ohne Konjugiert komplexe Erweiterung. Warum ist das so?

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{-a-iw} \end{eqnarray*}$

07.07.2017, 17:52

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du eigentlich machen? Als Aufgabe stellst du ein bestimmtes Integral hin. Dann aber hörst du auf, nachdem du eine Stammfunktion bestimmt hast. Ich erhalte für $\begin{align*} p = a + \operatorname{i} \omega \end{align*}$ , falls $\begin{align*} a>0 \end{align*}$ ist:

$\begin{align*} \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{-px} ~ \dd x \ = \ \frac{1}{p} = \frac{a - \operatorname{i} \omega}{a^2 + \omega^2} \end{align*}$

Für $\begin{align*} a \leq 0 \end{align*}$ divergiert das Integral.

07.07.2017, 18:00

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Also Eingangs geht es um eine Fourier Transformation.

Ich habe auch auf die Divergenz geprüft, dann habe ich versucht die Fourier Transformation anzuwenden.

$\begin{eqnarray*} F(w)=\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -at }*{ e }^{ -iwt } } =\int _{ 0 }^{ \infty }{ { { e }^{ (-a-iw)t } } } \end{eqnarray*}$

Ich bin dann auf das hier gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac { { e }^{ (-a-iw)t } }{ (-a-iw) } \frac { (-a+iw) }{ (-a+iw) } \end{eqnarray*}$

Dan setze ich die Grenzen ein

E hoch 0 ist 1 und E hoch -inf ist dann 0

$\begin{eqnarray*} \frac { { (-a+iw)e }^{ (-a-iw)t } }{ { a }^{ 2 }+{ w }^{ 2 } } ->\frac { -1((-a+iw)) }{ { a }^{ 2 }+{ w }^{ 2 } } \end{eqnarray*}$

07.07.2017, 18:03

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatten wir doch schon. Warum rechnest du das bestimmte Integral nicht aus? Warum hörst du mit der Stammfunktion auf? Und was ist jetzt eigentlich dein Problem?

EDIT
Mein Beitrag bezog sich auf den letzten Beitrag vor seiner Editierung.

07.07.2017, 18:08

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok die Grenzen habe ich ja schon eingesetzt aber dann mache ich das nochmal ausführlich:
Grenzen Sind unendlich und 0, das eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac { { e }^{ -\infty }(-a+iw) }{ { a }^{ 2 }+{ w }^{ 2 } } -\frac { { e }^{ 0 }(-a+iw) }{ { a }^{ 2 }+{ w }^{ 2 } } =-\frac { 1(-a+iw) }{ { a }^{ 2 }+{ w }^{ 2 } } \end{eqnarray*}$

Diese Vereinfachung des E-Ausdrucks habe ich aus einem Mathebuch entnommen...
Der erste Teil ist dann 0
-----

Zitat:

EDIT Mein Beitrag bezog sich auf den letzten Beitrag vor seiner Editierung.

Hatte gerade Stromausfall. Aber jetzt hab ich es nochmal sauberer gemacht smile

-----

Mein Problem ist, dass meine Lösung jetzt anders aussieht, als die in der Lösung. Außerdem rechnet der bekannte Integralrechner immer recht interessante Wege... Ich gebe gleich mal ein Beispiel

$\begin{eqnarray*} f = {e}^{\left(-\mathrm{i}w-a\right)x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F=\dfrac{\left(-\mathrm{i}w-a\right)\mathrm{e}^{\left(-\mathrm{i}w-a\right)x}}{-w^2+2\mathrm{i}aw+a^2} \end{eqnarray*}$

Das Beispiel würde ich z.b. ganz anders integrieren. Nur wie sind diese Schritte zu erklären?

07.07.2017, 18:18

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf dasselbe Ergebnis wie du. Jetzt gibt es mehrere Möglichkeiten. Wir könnten uns beide zugleich irren. Das ist zwar nicht unmöglich, aber doch eher unwahrscheinlich, denn wir müßten beide genau dieselben Fehler gemacht haben. Wenn also dein Ergebnis nicht das erwartete ist, dann muß der Fehler logischerweise vorher passiert sein. Dann wäre dein Ausgangsintegral schon ein falscher Ansatz.

07.07.2017, 18:21

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das ist jetzt sehr interessant. Ich denke schon, dass wir richtig integriert haben. Oder übersehen wir etwas?

Du kannst ja mal auf
http://www.integralrechner.de/ gehen, dann gibt dort mal das hier ein "e^((-a-iw)x)sin(wx)" ist zwar ein anderes Beispiel aber sehr abenteuerlich..

Ich stimme dem Rechner zwar in vielen Berechnungen zu, das reelle Integral mit komplexen Einheiten ist MM nach aber nicht so richtig. Interessant wird es bei e^(aix), das macht er richtig...

Aber das hilft mir jetzt nicht wirklich weiter, das verwirrt mich nämlich sehr...
(Aber wenn du das gleiche raus hast, gibt mir das ja schon etwas Hoffnung)

Neue Frage »

Antworten »

Komplexes Integral lösen

Verwandte Themen