Frage zum Beweis, dass die Brownsche Bewegung nirgends differenzierbar ist

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Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Beweis, dass die Brownsche Bewegung nirgends differenzierbar ist
Hallo zusammen,

Ich verstehe eine Stelle des Beweises, dass die Brownsche Bewegung nirgends differenzierbar ist, nicht. Es geht um folgende mengentheoretische Notation:



Zuerst das Theorem und dann schreibe ich den Anfang des Beweises auf.

(Ich schreibe den englischen Orginiallaut hin. Wenn ich es auf Deutsch hinschreiben soll, weil es ja ein Deutsches Forum ist, dann werde ich meinen Beitrag editieren.)

Theorem: P-almost all path of Brownian motion are nowhere differentiable

Beweis: The following argument shows that the set of differentiable trajectories has outer measure 0. If is differentiable at , then it has bounded difference quotients close to , so that for near . Hence by the triangle inequality we also get for all large, for near and for three successive . Therefore we can write:

Wie darf ich das genau verstehen? Ich verstehe die inneren Mengenoperationen nicht. Weshalb nehmen wir 3 Punkte und was soll da dieses ? Die zweite und dritte Mengenoperation (von Links gezählt) sind wohl der Limes Inferior?

Vielen Dank für Eure Hilfe.

Edit: Grammatik.

Edit 2: Vielleicht hilft das jemanden weiter:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dukkha
Weshalb nehmen wir 3 Punkte

Das wird sich hoffentlich im weiteren Beweisverlauf klären. Man könnte auch eine beliebige andere, aber fest vorgegebene endliche Anzahl nehmen, aber anscheinend reichen drei. (<--- EDIT: Ja, drei reicht, hab mir den weiteren Beweisverlauf jetzt selbst rekonstruiert. Schöne Idee! Augenzwinkern )

Was bedeutet die Konstruktion? Differenzierbarkeit der Trajektorie in erfordert notwendig eine Beschränktheit des Differenzenquotienten , wenn man mit genügend nahe an heranrückt. D.h., es gibt ein sowie , so dass für alle gilt, umgeschrieben . Wählen wir nun genügend groß, dann gibt es ein , so dass alle vier Werte in das Intervall passen, und außerdem gelten möge. Dann kann man nach Dreiecksungleichung argumentieren:

,

wenn wir wählen. Das gilt jetzt wohlgemerkt für alle : Bei festem und ist auch fest wählbar, allerdings variiert in der Weise, dass eben gilt.

Betrachten wir nun aber irgendein , wo bei t=s stetig sein soll, dann sind sowohl variabel, und auch kann so variieren, dass gilt, also .
 
 
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Hal 9000,

Vielen Dank, das hat mir sehr viel weiter geholfen. Das war so nicht ersichtlich für mich im vorgegebenen Beweis. Danke!
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