Bestimmung der Basis des Bildes und des Kernes.

07.07.2017, 22:04

boris602

Bestimmung der Basis des Bildes und des Kernes.

Gegeben sei die Matrix A über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Sei A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 3 & 0 \\ 0,5 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Betrachten Sie die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \lambda_A \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} V->W \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v->\lambda_A(v):= Av \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^4 \wedge W=\mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ sind.

Hier muss ich in der ersten Aufgabenstellung je eine Basis von Kern(f) $\begin{eqnarray*} \subset V \end{eqnarray*}$ und von Bild (f) $\begin{eqnarray*} \subset W \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Mein Problem ist wie folgt. W und V sind mir nicht bekannt, also soll ich einfach von beliebigen ausgehen welche die reelen Zahlen beinhalten? Ein weiteres Problem stellt sich durch die Abbildung $\begin{eqnarray*} V->W \end{eqnarray*}$ . Den Kern erhalte ich dadurch wenn ich alle $\begin{eqnarray*} v \in V=0 \end{eqnarray*}$ finde. Dadurch brauche ich erst einmal $\begin{eqnarray*} V->W \end{eqnarray*}$ . W bekomme ich durch Multiplikation von Av.

Da der Kern=0 seien muss,soll ich jetzt einfach 3 Vektoren in A suchen deren Determinante $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind und beispielsweise mit 3 $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ , also kanonischen Einheitsvektoren multiplizieren und das als meine Basis angeben?

Wie ich die Basis zum Bild bekomme weiß ich leider nicht und wäre über den ein oder anderen Ratschlag glücklich, der mir dabei helfen könnte diese Aufgabe zu lösen und mir sagen könnte was an meinen anderen Vorüberlegungen nicht stimmt.

08.07.2017, 10:03

Elvis

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RE: Bestimmung der Basis des Bildes und des Kernes.

Zitat:

Original von boris602
Hier muss ich in der ersten Aufgabenstellung je eine Basis von Kern(f) $\begin{eqnarray*} \subset V \end{eqnarray*}$ und von Bild (f) $\begin{eqnarray*} \subset W \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Du sollst Kern und Bild von $\begin{eqnarray*} \lambda_A \end{eqnarray*}$ bestimmen, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kommt in der Aufgabe nicht vor.

Zitat:

Original von boris602
Mein Problem ist wie folgt. W und V sind mir nicht bekannt, also soll ich einfach von beliebigen ausgehen welche die reelen Zahlen beinhalten?

In der Aufgabe steht $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^4, W=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , wie können diese Räume nicht bekannt sein ?

Zitat:

Original von boris602
Den Kern erhalte ich dadurch wenn ich alle $\begin{eqnarray*} v \in V=0 \end{eqnarray*}$ finde.

Der Kern ist der UVR aller Vektoren aus V, die auf 0 abgebildet werden.

Zitat:

Original von boris602
Dadurch brauche ich erst einmal $\begin{eqnarray*} V->W \end{eqnarray*}$ .

Die Abbildung ist in der Aufgabe gegeben. Es ist $\begin{eqnarray*} \lambda_A:V\to W, v\mapsto Av \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von boris602
W bekomme ich durch Multiplikation von Av.

Nein, $\begin{eqnarray*} W=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist gegeben.

Zitat:

Original von boris602
Da der Kern=0 seien muss,soll ich jetzt einfach 3 Vektoren in A suchen deren Determinante $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind und beispielsweise mit 3 $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ , also kanonischen Einheitsvektoren multiplizieren und das als meine Basis angeben?

Diese Aussagen und Fragen machen leider keinen Sinn.

Zitat:

Original von boris602
Wie ich die Basis zum Bild bekomme weiß ich leider nicht und wäre über den ein oder anderen Ratschlag glücklich, der mir dabei helfen könnte diese Aufgabe zu lösen und mir sagen könnte was an meinen anderen Vorüberlegungen nicht stimmt.

Hinweis: Diese Aufgabe ist eine Standardaufgabe aus der linearen Algebra, den Kern bestimmt man mit dem Gauß-Algorithmus, angewandt auf die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Für die Bestimmung des Bildes benutzt man den Dimensionssatz.
Nachtrag: Für die Lösung der Aufgabe ist eine DIN A5-Seite völlig ausreichend.

08.07.2017, 12:33

boris602

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Zitat:

Du sollst Kern und Bild von $\begin{eqnarray*} \lambda_A \end{eqnarray*}$ bestimmen, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kommt in der Aufgabe nicht vor.

Das ist lediglich die Aufgabenstellung. Um genau zu seien steht dort "Bestimmen Sie je eine Basis von Kern $\begin{eqnarray*} (f)\subset V \end{eqnarray*}$ und von Bild $\begin{eqnarray*} (f)\subset W \end{eqnarray*}$ ."

Mich verwirrt im allgemeinem als was A betrachtet werden soll, da es mir als eine Art Übergangsmatrix zu W rüberkommt.
Warum darf ich einfach ein Lgs auf A machen und nach 0 auflösen, das wird mir leider nicht ganz klar.

08.07.2017, 12:58

Elvis

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Das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ steht nicht in der Aufgabe, die du aufgeschrieben hast. Wenn es in der Originalaufgabe steht, dann sollte dort nicht $\begin{eqnarray*} \lambda_A \end{eqnarray*}$ stehen.
Du verwirrst die Begriffe, wenn du die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als "Übergangsmatrix" zum Vektorraum $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ bezeichnest, so etwas gibt es gar nicht.
Die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ tritt als Darstellungsmatrix in der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \lambda_A:V\to W, v\mapsto Av \end{eqnarray*}$ auf. Das ist der Grund, warum man mit ihr arbeiten muss, wenn man etwas über die Abbildung herausfinden möchte.

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