Inhomogene stationäre kugelsymmetrische Wärmeleitgleichung

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08.07.2017, 09:50	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Inhomogene stationäre kugelsymmetrische Wärmeleitgleichung Hallo, ich habe eine Kugelsymmetrische Anrodnung. Im Mittelpunkt der der großen Kugel mit r2 ist eine kleine Kugel mit r1. Zwischen innerer und äußerer Kugel befindet sich ein Medium (hier Wasser) und in der äußeren Umgebung Luft mit der Temperatur TL. Die Erwärmung der des Wassers von außen durch die Sonne wird als volumetrische Wärmequelle modelliert: $\begin{eqnarray} g=\frac{3r_2^2}{r_2^3-r_1^3}\dot{q} \end{eqnarray}$ Da der aufbau Kugelsymmetrisch ist und stationär betrachtet wird folgt daraus folgende DGL: $\begin{eqnarray} \lambda (\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2 \frac{dT}{dr}))+g=0 \end{eqnarray}$ Die innere Kugel mit dem Radius r1 ist ein kugelförmiger Heizkörper. Daraus ergeben sich für mich folgende Randbedingungen: $\begin{eqnarray} -\lambda\frac{dT}{dr}=\frac{\dot{Q}}{4\pi r^2} \end{eqnarray}$ an der Stelle r=r1 $\begin{eqnarray} T(r2)=T_L \end{eqnarray}$ So, nun hab ich so meine lieben Probleme beim Lösen dieser DGL. Ich hätte nun als erstes mal die homogene gelöst und folgendes als Ergebnis bekommen: $\begin{eqnarray} T(r)=-c_1(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r})+c_2 \end{eqnarray}$ Und nun die partikuläre mittels variation der Konstanten, aber das führt mich nicht wirklich zum Ergebnis. Wo ich als erstes schon mal Probleme habe ist, wo ich bestimmt und wo unbestimmt integrieren muss. Wäre für eure Hilfe sehr dankbar!
09.07.2017, 12:42	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann ich ja fast nicht glauben, dass mir hier keiner weiterhelfen kann bei dem geballten Wissen hier im Forum. Die DGL muss ich ja folgendermaßen umschreiben oder (also dass for T(x)' nichts mehr steht): $\begin{eqnarray} \frac{d}{dr}(r^2 \frac{dT}{dr})=-\frac{g}{\lambda}r^2 \end{eqnarray}$ Ich habe nochmal nachgerechnet und komme jetzt auf (die Anfangs bzw. Randwerte darf ich ja erst am Ende einsetzen) $\begin{eqnarray} T(r)_h=-c_1\frac{1}{r}+c_2 \end{eqnarray}$ Für die partikuläre wäre ich mit folgendem Ansatz rangegangen: $\begin{eqnarray} T(r)_p=A+Br+Cr^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T'(r)_p=B+2Cr \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r^2T(r)_p=Br^2+2Cr^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{dr}(r^2T(r)_p)=2Br+6Cr^2 \end{eqnarray}$ Und dann mittels Koeff-Vergl.: $\begin{eqnarray} -\frac{g}{r}r^2=2B+6Cr \end{eqnarray}$ woraus folgt $\begin{eqnarray} C=-\frac{g}{6\lambda} \end{eqnarray}$ Also die Lösung der DGL: $\begin{eqnarray} T(r)=-c_1\frac{1}{r}+c_2-\frac{g}{6\lambda}r^2 \end{eqnarray*}$ Aber irgendwie fehlt mir dann noch ein Term zur Musterlösung. Ich vermute, dass ich bei der partikulären was verbocke?
09.07.2017, 13:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, warum du dir das leben so schwer machst. Startend mit $\begin{eqnarray} \frac{d}{dr}(r^2 \frac{dT}{dr})=-\frac{g}{\lambda}r^2 \end{eqnarray}$ integriert man beide Seiten von $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \int_{r_1}^r \frac{d}{dr}(r^2 \frac{dT}{dr}) dr=-\int_{r_1}^r\frac{g}{\lambda}r^2 dr \end{eqnarray}$ . Nach dem Hauptsatz ist die linke Seite $\begin{eqnarray} r^2 \frac {dT}{dr}(r) - r^2_1 \frac {dT}{dr}(r_1) \end{eqnarray}$ . Hier kann man den Randwert einsetzen und die rechte Seite ebenso explizit berechnen. Dann kann man alles nach $\begin{eqnarray} \frac { dT}{dr}(r) \end{eqnarray}$ umstellen und noch einmal von $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ integrieren. Und schon hat man die Loesung stehen.
09.07.2017, 13:52	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das war schon mal sehr hilfreich. Jedoch bleiben mir noch Fragen. Hier hast du bestimmt integriert. Warum? Wir haben die DGLs immer nur unbestimmt integriert und dann halt mit den Randwerten angepasst. Das machst du hier gleich mit den bestimmten Integralen oder? Den Randwert $\begin{eqnarray} -\lambda\frac{dT}{dr}=\frac{\dot{Q}}{4\pi r^2} \end{eqnarray}$ an der Stelle r=r1 setze ich für $\begin{eqnarray} r^2_1 \frac {dT}{dr}(r_1) \end{eqnarray}$ ein oder? Also steht dort dann $\begin{eqnarray} r^2 \frac{dT}{dr}(r) + r_1^2 \frac{ \dot{Q}}{4 \pi \lambda r_1^2} \end{eqnarray}$ Nach dem Umstellen habe ich folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{dT}{dr}=-\frac{g}{3 \lambda r^2}(r^3-r_1^3)- \frac{\dot{Q}}{4 \pi \lambda r^2} \end{eqnarray}$ und nach dem bestimmten Integrieren: $\begin{eqnarray} T(r)=-\frac{g}{6 \lambda}(r^2-r_1^2) - \frac{g r_1^3}{3 \lambda}(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_1}) + \frac{\dot{Q}}{4 \pi \lambda r^2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_1}) \end{eqnarray}$ was leider auch nicht dem Ergebnis entspricht.
09.07.2017, 13:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) Genau. Dann spart man sich die Konstanten nachher zu ermitteln. 2.) Du hast nie verraten was herauskommen soll. Und beim zweiten hast du nicht die Grenzen genommen, die ich empfohlen habe. Deswegen hast du auch noch nicht den anderen Anfangswert einbauen koennen (und auf der linken Seite wohl einen Term vergessen.)
09.07.2017, 14:28	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach verdammt, ich hätte doch zuerst meinen Kaffee trinken sollen. Ja klar, wollte den -T(r_1) gleich auf die rechte Seite bringen und dann gewissenhaft drauf vergessen. Wie kommt man drauf, dass man zuerst von r1 bis r und dann von r bis r2 integrieren muss? Hab ich den 2. Randwert (Neumannsche Randbedingung) nicht korrekt eingesetzt (so wie im vorigen Beitrag angegeben, einfach umformen und bei T(r_1) einsetzten)?
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09.07.2017, 15:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Neumann-Randwert sah gut aus. Die Grenzen habe ich so genommen, damit man direkt die Anfangsbedingungen einbauen konnte. Man könnte aber auch einfach unbestimmt integrieren und dann die Konstanten bestimmen. Nimmt sich alles nichts.
09.07.2017, 16:30	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also da er an der Stelle r=r_1 vorgegeben ist, muss man ihn dann natürlich auch bei $\begin{eqnarray} r^2_1 \frac {dT}{dr}(r_1) \end{eqnarray}$ einsetzen und nicht bei $\begin{eqnarray} r^2 \frac {dT}{dr}(r) \end{eqnarray}$ oder? Und man kann ihn dann direkt dort bei $\begin{eqnarray} \frac {dT}{dr}(r_1) \end{eqnarray}$ einsetzen. Jetzt kommt auch das Ergebnis raus: $\begin{eqnarray} T(r)=\frac{g}{6 \lambda}(r^2-r^2) + \frac{g r_1^3}{3 \lambda}(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r}) - \frac{\dot{Q}}{4 \pi \lambda}(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r})+T(r_2) \end{eqnarray}$
09.07.2017, 17:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Du kannst, wenn dir langweilig ist, ja das gleiche noch einmal mit unbestimmten Integralen berechnen und nachher die Konstanten bestimmen.
10.07.2017, 08:45	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann gut sein, dass ich das mal mache wenn ich etwas mehr Zeit habe. Vielen Dank!

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