Komplexer Logarithmus geschlitzte Ebene

08.07.2017, 09:56	JanK	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexer Logarithmus geschlitzte Ebene Meine Frage: Hallo, ich habe zwei Aufgaben, bei denen ich nicht ganz verstehe, wie sie zusammenpassen und wie man sie löst: 1) Sei $\begin{eqnarray} U \subseteq \mathbb C \end{eqnarray}$ ein Gebiet, das die links-geschlitzte Ebene $\begin{eqnarray} \mathbb C \backslash ]-\infty,0] \end{eqnarray}$ echt enthält. Zeige, dass auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ keine Logarithmusfunktion existiert. 2)Zeige, dass auf der links-geschlitzten komplexen Ebene $\begin{eqnarray} U:=\mathbb C \backslash ]-\infty,0] \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} L(re^{i\varphi} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \varphi \in ]- \pi, \pi[ \end{eqnarray}$ eine holomorphe Logarithmusfunktion mit $\begin{eqnarray} L(1)=0 \end{eqnarray}$ gegeben ist und dass diese eindeutig ist. Meine Ideen: Wie passt das denn zusammen? Der einzige Unterschied ist ja das "echt enthalten" bei der 1). Aber wieso macht das den entscheidenden Unterschied? Und wie würde man dann den Beweis führen?? Ich danke euch, wenn ihr mir ein bisschen Licht ins Dunkel bringt Edit (mY+): Du bist auch LaskerPelikan, bitte NICHT unter verschiedenen Namen posten, das ist unhöflich! Bleibe bei einem Namen!
09.07.2017, 10:37	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Unterschied besteht darin, dass du einen Kreis um den Nullpunkt finden kannst, der ganz in $\begin{align} U \end{align}$ liegt, das geht in der geschlitzten Ebene nicht. Verwende dies und, dass der komplexe Logarithmus eine Stammfunktion von $\begin{align} \frac{1}{z} \end{align}$ sein muss, da wo er holomorph ist. Zeige, dass $\begin{align} \frac{1}{z} \end{align}$ auf $\begin{align} U \end{align}$ keine Stammfunktion haben kann.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »