Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion

08.07.2017, 12:02

FrodoTheHobbit

Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion

Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard,

ich muss folgende Aufgabe Lösen und würde euch gerne um Rat bitten:

Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} P(X\leq x) = F_X(x) = (1-x^{-\alpha}) \mathbf{1}_{1,\infty } (x) , x > 0 \end{eqnarray*}$

(a) Begründen Sie, warum $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ > 0 tatsächlich eine Verteilungsfunktion ist. Berechnen Sie in dem Fall eine Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} F_X. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee ist es die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X(f) = \int_{-\infty }^{t} \! f(x) \, dt \end{eqnarray*}$ bzw. die Kriterien der Verteilungsfunktion zu benutzen.

Man sagte mir das das Kriterium $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x) = 1 \end{eqnarray*}$ zum Ergebnis führt. Mein Versuch war es also zu zeigen das $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ das Kriterium = 1 nicht einhält.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } 1-x^{-\alpha} = \lim_{x \to \infty } -x^{-\alpha} = \lim_{x \to \infty } \frac{1}{-x^{\alpha}} \end{eqnarray*}$

Ist das der richtige Weg ? Wie kann ich hieraus zeigen das $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ > 0 tatsächlich eine Verteilungsfunktion ist ?

Vielen dank für die Unterschtützung.

09.07.2017, 10:47

SHigh

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RE: Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } 1-x^{-\alpha} = \lim_{x \to \infty } -x^{-\alpha} = \lim_{x \to \infty } \frac{1}{-x^{\alpha}} \end{eqnarray*}$

Wo ist denn die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hin? Es sollte so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} F(x)=\lim_{x\to \infty} (1-x^{-\alpha})\cdot 1_{[1,\infty)}(x)=\lim_{x\to \infty} 1-x^{-\alpha}=1-\lim_{x\to \infty} x^{-\alpha} \end{eqnarray*}$ .

Überlege dir jetzt, wie der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \alpha \leq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha >0 \end{eqnarray*}$ aussieht.

Es folgt, dass nur $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ in Frage kommt. Dann musst du noch weitere Eigenschaften (welche?) nachweise. Dannach kümmern wir uns um die Dichte.

09.07.2017, 15:15

SamTheHobbit

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RE: Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion
Ah ja, vielen Dank.

für $\begin{eqnarray*} \alpha \leq 0 \end{eqnarray*}$ wäre das Ergebnis dann entweder $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ oder 0. Vielen dank für den Hinweis !

Als nächstes sollten wir $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } F_{(x)} = 0 \end{eqnarray*}$ zeigen.

Wenn wir $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 0 setzen ist diese Eigenschaft auch erfüllt.

Die nächste Eigenschaft ist die monotone Steigung, welche für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ > 0 gilt.

Die Eigenschaft der Stetigkeit:
$\begin{eqnarray*} 1-x^{-\alpha} \end{eqnarray*}$ ist stetig als Polynom, mit dem Übergang $\begin{eqnarray*} F_1(1) \end{eqnarray*}$ = 0. ( So in der Art hat unser prof das zumindest gelöst.)

Das sollten alle zu zeigenden Eigenschaften sein, dann kommt jetzt die Dicht.

Vielen dank für die Unterschtützung.

09.07.2017, 15:29

SHigh

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RE: Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion

Zitat:

für $\begin{eqnarray*} \alpha \leq 0 \end{eqnarray*}$ wäre das Ergebnis dann entweder $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ oder 0.

Genau. Und eine VF muss immer auch zusätzlich

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } F_{(x)} = 0 \end{eqnarray*}$ zeigen

erfüllen. Das wäre zwar auch für $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt, aber dann gilt eben

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty}F(x)=0\ne 1, \end{eqnarray*}$ Somit ist F für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ keine VF.

Zitat:

Die Eigenschaft der Stetigkeit:

Hier sollte man exakter sein. Wir brauch (nur) rechtsseitige Stetigkeit. Jetzt wäre es gut zu wissen ob

Zitat:

mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} P(X\leq x) = F_X(x) = (1-x^{-\alpha}) \mathbf{1}_{1,\infty } (x) , x > 0 \end{eqnarray*}$

bei der Idikatorfunktion das Intervall links offen oder geschlossen ist. Ist es geschlossen, hast du wegen der Stetigkeit des Polynoms insbesondere Rechtsstetigkeit. Wenn es offen ist (wovon ich jetzt ausgehe), dann musst du

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1, x>1} F(x) = F(1) \end{eqnarray*}$

zeigen.

09.07.2017, 18:05

Dopap

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geht auch kurz als:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 1} F(x)= F(1) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

code:
1:	[latex]\lim_{x \downarrow 1} F(x)= F(1)[/latex]

10.07.2017, 22:19

DerBoi

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RE: Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion
Hi Wink

ich bin mir gerade nicht sicher, ob ich etwas übersehe oder einfach nur blöd bin Hammer

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}F(x) = (1 - x^{-\alpha}) \end{eqnarray*}$ ist doch eigentlich 1 oder nicht?
Da $\begin{eqnarray*} x^{-\alpha} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} {x \to -\infty} \end{eqnarray*}$ doch gegen 0 konvergiert, oder liege ich da falsch? verwirrt

(Entschuldigung, falls ich einen Denkfehler habe und die Frage daher sehr dumm ist)

10.07.2017, 22:31

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} F(x)=\left(1-x^{-a}\right)\cdot {\color{red}1_{[1,\infty)}(x)} \end{align*}$ , und die Indikatorfunktion da am Ende bedeutet, dass $\begin{align*} F(x)=0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x<1 \end{align*}$ ist, inbesondere auch für $\begin{align*} x\to -\infty \end{align*}$ . Daher ist es kompletter Unfug, bei der Betrachtung $\begin{align*} x\to -\infty \end{align*}$ mit dem Term $\begin{align*} \left(1-x^{-a}\right) \end{align*}$ zu hantieren, weil der dort komplett irrelevant ist.

P.S.: Es schwirren z.Z. mindestens drei Threads um dieselbe Verteilungsfunktion wie hier herum, neben diesem hier auch noch

https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=579471
https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=579452

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