partielle Ableitung in (0,0)

08.07.2017, 12:06	RipHarambe	Auf diesen Beitrag antworten »
partielle Ableitung in (0,0) Hallo, kann mir jemand helfen die partielle Ableitung nach x im Punkt (0,0) zu bestimmen? $\begin{eqnarray} f(x,y) = \begin{cases} \frac{x \cdot y^5 + 2 \cdot x^5 \cdot y}{x^4-y^4}, & (x,y) \neq (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{eqnarray}$ Mein Vorgehen: $\begin{eqnarray} f_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x,0)-0}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x,0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot 0^5 + 2 \cdot x^5 \cdot 0}{x^4-0^4}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{0}{x^4}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x^5} = ? \end{eqnarray}$
08.07.2017, 12:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: partielle Ableitung in (0,0) Sieht gut aus. Ist nur die Frage was $\begin{eqnarray} 0 \cdot y \end{eqnarray}$ für Zahlen $\begin{eqnarray} y \in (-\infty, \infty) \end{eqnarray}$ ist. Solange $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nur nahe an 0 ist, statt wirklich 0 zu sein, ist das der Fall fuer $\begin{eqnarray} y := x^{-5} \end{eqnarray}$ .
08.07.2017, 12:26	RipHarambe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ist was falsch an meiner Argumentation? Kann ich nicht einfach y=0 einsetzen für f(x,0)? Denn eigentlich sollte -1 rauskommen....
08.07.2017, 12:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechnung und Argumentation stimmt. Mein Post wollte nur argumentieren, dass das Fragezeichen der Gleichheitskette durch 0 zu ersetzen ist. Und die Funktion ist partiell differenzierbar. Nicht einmal stetig in der 0, geschweige differenzierbar, aber partiell differenzierbar ist es alle mal. Und zwar mit Ableitung 0. Edit: Nicht, dass es relevant wäre. Aber sicher, dass im Nenner ein Minus steht? So ist es auf den Diagonalen des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ nicht definiert. Macht fuer die partiellen Ableitungen nichts aus, aber bereits Richtungsableitungen koennen so nicht einmal bestimmt werden.

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