Rang einer Matrix mit Variablen

08.07.2017, 17:05

Demid

Rang einer Matrix mit Variablen

Hi,

ich suche den Rang einer Matrix die mit der Variable a versehen ist. Ich kenne das bisher nur mit Zahlen und bin etwas Ratlos, wie ich das jetzt bei dieser Matrix angehen soll.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & a \\ 1 & a & a^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.07.2017, 17:14

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist auch eine Zahl. Augenzwinkern

Wie gehst du denn sonst vor, wenn du den Rang einer Matrix bestimmen willst?

08.07.2017, 17:20

Demid

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist auch eine Zahl. Augenzwinkern

Wie gehst du denn sonst vor, wenn du den Rang einer Matrix bestimmen willst?

Ich würde versuchen mit Hilfe des Gauß Verfahrens 0 Zeilen zu formen. Aber ich bin mir nicht ganz sicher wie man das Verfahren hier anwendet.

08.07.2017, 17:26

10001000Nick1

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Genau, das funktioniert hier auch mit dem Gauß-Verfahren.

Dann eben die Frage: Was würdest du beim Gauß-Verfahren zuerst machen, wenn da nicht $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ stehen würde, sondern eine feste Zahl?

08.07.2017, 18:01

Demid

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Ich würde erstmal versuchen am Anfang der 2. und 3. Zeile eine 0 hinzubekommen, indem ich Sie mit der 1. Zeile subtrahiere. Gut dann hätte ich da die Nullen.

Dann wäre ich versuchen in der 2. Zeile aus dem entstandenen $\begin{eqnarray*} a-1 \end{eqnarray*}$ eine 1 zu machen indem ich druch $\begin{eqnarray*} a-1 \end{eqnarray*}$ teile?

08.07.2017, 19:00

10001000Nick1

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Kannst du machen, allerdings musst du dann den Fall $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ ausschließen (sonst würdest du durch 0 dividieren).

Deswegen würde ich die zweite Zeile so stehen lassen. Denn in der dritten Zeile, zweite Spalte steht ja genau der gleiche Eintrag wie in der zweiten Zeile, zweite Spalte. Es entsteht also eine 0, wenn du die zweite Zeile von der dritten subtrahierst.
(Wenn du den Rang einer Matrix bestimmen willst, ist nur wichtig, dass unterhalb der Hauptdiagonalen Nullen stehen; auf der Diagonalen musst du nicht unbedingt Einsen haben.)

Wenn du dann also diese Nullen hast, musst du überlegen, bei welchen Werten von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ es wieviele Nicht-Nullzeilen gibt.

10.07.2017, 16:07

Demid

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Alles klar, wie sieht es mit der Lösung aus die angehängt ist. Stimmt es dann so?

10.07.2017, 16:41

HAL 9000

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Du meinst also, dass die Matrix im Fall $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ den Rang 3 hat? verwirrt

10.07.2017, 16:48

Demid

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Nein, stimmt. Reicht es da wieder, wenn ich es mit $\begin{eqnarray*} r(A)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ angebe?

10.07.2017, 16:52

HAL 9000

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Du hast es doch gar nicht nötig, zu raten: Ausgehend von deiner letzten Umformung, und dort $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ eingesetzt ist unmittelbar $\begin{align*} \operatorname{rg}(A)=2 \end{align*}$ zu sehen.

10.07.2017, 16:55

Demid

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Oh man...... Stimmt, danke.

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