Lineare Abbildung

09.07.2017, 12:07	Bernd91	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung Meine Frage: Hallo ich habe folgende Aufgabe: [attach]44848[/attach] Meine Ideen: a.) $\begin{eqnarray} <br /> phi(A+B)=(2(A+B)^T - (A+B))^T = 2A+2B - A^T-B^T = 2A-A^T +2B-B^T = (2A^T - A)^T + (2B^T - B)^T = phi(A) + phi(B)<br /> <br /> phi(\lambda A) = (2 \lambda A^T - \lambda A)^T = \lambda (2A^T-A)^T = phi(A) \lambda<br /> \end{eqnarray}$ b.) $\begin{eqnarray} <br /> Dim(obere Dreickecksmatrizen)= ((n^2 - n) /2 ) + n<br /> \end{eqnarray}$ Beim Kern und bei dem Bild bin ich mir unschlüssig, da 2A = A^T durch ein wenig Formelkosmetik hinausbekomme. Bei der Formel stört mich die Zahl 2, denn dann wäre der Kern definiert durch alle symmetrischen Matrizen. Das was ich mir noch vorstellen könnte ist, dass der Kern definiert ist auf den Bereich der Diagonalmatrizen, die wiederum auch Symmetrisch wären. Ich bräuchte bei der Aufgabe ein wenig Hilfe.
09.07.2017, 12:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Kern : Was passiert, wenn die obere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ein Element ungleich $\begin{eqnarray} x\ne 0 \end{eqnarray}$ enthält ? Unterscheide die beiden Fälle (1) $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ liegt oberhalb der Hauptdiagonale (2) $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ liegt auf der Hauptdiagonale.
09.07.2017, 13:04	Bernd91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin einaml von einer 2 x 2 Matrix ausgegangen $\begin{eqnarray} <br /> Bei:\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0& 2 \end{vmatrix} <br /> 2A = A^T<br /> =><br /> \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0& 4 \end{vmatrix} \neq \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1& 2 \end{vmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Da das immer ungleich ist, müsste der Kern an der Stelledoch die Trivialle darstellung 0 sein oder täusche ich mich da?
09.07.2017, 13:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir machen das lieber formaler, allgemeiner, mathematischer und damit besser. Dein Beispiel ist nicht nur mager sondern auch falsch. (1) $\begin{eqnarray} i<j, (A)_{ij}=x\ne 0\Rightarrow (\phi(A))_{ij}=2x,(\phi(A))_{ji}=-x\Rightarrow \phi(A)\ne 0 \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} (A)_{ii}=x\ne 0\Rightarrow (\phi(A))_{ii}=x\Rightarrow \phi(A)\ne 0 \end{eqnarray}$
09.07.2017, 13:38	Bernd91	Auf diesen Beitrag antworten »
Kk ich verstehe die Aussage, jedoch nicht wie ich den Kern damit bestimme. Oder ist es wirklich die Triviale Aussage, dass alle Elemente in im Oberen Matrixdreieck die das doppelte von x ist, während die diagonae direkt x ist und das untere Matrizendreieck gleich minus x ist?
09.07.2017, 14:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Hauptdiagonale bleibt x, wie sie ist. Oberhalb wird verdoppelt (2x), unterhalb steht -x. Damit ist das Bild charakterisiert. Der Kern ist 0.
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09.07.2017, 14:34	Bernd91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe das jetzt so, ich ermittle das Bild und anhand des Bildes ermittle ich den Kern. Soweit so gut, da mein professor den Dimensionssatz nicht mag und auch nicht zulässt, wüsste ich nicht, wie ich Argumentieren sollte, dass der Kern = 0 ist. Hast du dafür villeicht auch noch einen tipp bzw rat? Bishierhin erstmal wirklich herzlichen dank für deine Hilfe.
09.07.2017, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Argumentation für den Kern war die folgende: wenn eine obere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ von der Nullmatrix verschieden ist, dann hat sie ein Element $\begin{eqnarray} x\ne 0 \end{eqnarray}$ auf oder oberhalb der Hauptdiagonale, und dann ist auch $\begin{eqnarray} \phi(A)\ne 0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} ((A\ne 0\Rightarrow \phi(A)\ne 0)\Rightarrow (\phi(A)=0\Rightarrow A=0))\Rightarrow ker(\phi)=\{0\} \end{eqnarray}$ Um das zu beweisen habe ich das Bild von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ elementweise berechnet und dadurch gleichzeitig das Bild charakterisiert. Der Dimensionssatz wurde noch nicht gebraucht, er sagt uns jetzt nur, dass $\begin{eqnarray} \frac {n^2-n} 2 + n=dim(\Delta_{nn})=dim(im(\phi))+dim(ker(\phi))=dim(im(\phi))+0=dim(im(\phi)) \end{eqnarray}$ , aber das können wir dem Bild auch ohne den Satz ansehen. Damit ist dein Professor sicher zufrieden, warum er den Dimensionssatz nicht mag, verstehe ich nicht.

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