Niveau eines Tests

09.07.2017, 18:22

redshark

Niveau eines Tests

Zur Seuchenvorsorge muss Blut von den Schweinen eines landwirtschaftlichen Be-triebes abgenommen werden. Dazu werden aus dem Bestand von 100 Schweinen 10Tiere zufällig ausgewählt und deren Blut untersucht. Ist diese Untersuchung posi-tiv (d. h. mindestens eine Blutprobe ist auffällig), sind weitere Untersuchungen undeine Einleitung einer Behandlung notwendig.

a) Beschreiben Sie den Test theoretisch und bestimmen Sie das eff. Niveau

b)Wie viele Proben müssen genommen werden, wenn man die Wahrscheinlichkeit,dass eine Erkrankung nicht erkannt wird, kleiner oder gleich 5 % halten möchte?

Bei der Aufgabe bin ich sehr unsicher, ob ich das richtig verstehe:

a) Das Verfahren kann als hypergeomtrisches Experiment beschrieben werden. In einer Urne mit 100 Kugeln seien r rote und 100-r schwarze Kugeln. Nun interpretiert man das Vorliegen eines unauffälligen Bluttests als eine rote Kugel. Im Test werden 10 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Ist nun mindestens eine schwarze Kugel dabei, so sind weitere Untersuchungen fällig. Sind alle Kugeln rot, so sind keine weiteren Untersuchungen fällig, man geht davon aus, dass dann alle Kugeln in der Urne rot sind.
Als statistisches Modell erhält man dann:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{X} = \{ 0, \ldots 10 \}; \qquad \Theta = \{0, \ldots, 100 \}; \qquad P_{\vartheta} = h(\cdot; n, \vartheta, 100 - \vartheta), \vartheta \in \Theta \end{eqnarray*}$

Diw Nullhypothese ist nun, dass nicht alle Kugeln rot sind bzw. mindestens ein Schwein eine Erkrankung hat:
$\begin{eqnarray*} H_0 : \vartheta \in \Theta_0 = \{0, \ldots 99 \} \\ H_1 : \vartheta \in \Theta_1 = \{100 \} \end{eqnarray*}$

Die Statistik $\begin{eqnarray*} \varphi \colon \mathcal{X} \to [0,1] \end{eqnarray*}$ wird wie folgt festgelegt. $\begin{eqnarray*} \varphi(x) = \begin{cases} 1 &, \text{falls} \, x \geq 10 \\ 0 & ,\text{falls} \, x < 10 \end{cases} \end{eqnarray*}$ wobei bei $\begin{eqnarray*} \varphi(x) = 1 \end{eqnarray*}$ zur Ablehnung der Nullhypothese führt.

Das effektive Niveau eines Tests ist definiert als: $\begin{eqnarray*} \sup_{\vartheta \in \Theta_0} E_{\vartheta}(\varphi) \end{eqnarray*}$

Wenn ich an der Stelle weiterrechne komme ich aber darauf, dass das Niveau 0,1 ist bzw. für b, dass man 95 Schweine testen müsste, um das Signifikanzniveau von 0,05 zu erreichen. Das macht doch aber den Test an sich sinnfrei?

Daher vermute ich, dass ich in meinem Modell schon einen grundlegenden Denkfehler habe.

Kann mir wer helfen?

VG

09.07.2017, 19:09

SHigh

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RE: Niveau eines Tests
Hallo,

Zitat:

Sind alle Kugeln rot, so sind keine weiteren Untersuchungen fällig, man geht davon aus, dass dann alle Kugeln in der Urne rot sind.

Wo liest du das heraus?

Ich verstehe die Aufgabe so: Man zieht 10 Kugeln, ist mindestens eine davon rot, so ist der Test positiv (d.h. Einleitung einer Behandlung).

09.07.2017, 19:48

redshark

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Hallo,

ich interpretiere ja rot als unauffälliger Test und schwarz als auffälliger Test. das lässt sich ja beliebig definieren.

Für mich ist dann halt:
min. 1 schwarze Kugel = min. 1 Test positiv --> Behandlung notwendig

09.07.2017, 20:57

Dustin

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Da hast du Recht, redshark. Ich muss mir nur gerade mal die Bedeutung der statistischen Größen durchlesen und melde mich gleich wieder mit einer hoffentlich hilfreichen Antwort Augenzwinkern

09.07.2017, 21:36

redshark

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Das wäre toll smile

In unserer Notation bedeutet:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{X} \end{eqnarray*}$ ist der Stichprobenraum, hier also die Anzahl der als unauffällig getesten Schweine bzw. roten Kugeln im Test.

$\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ ist letztlich nur eine Parametermenge, wobei dann $\begin{eqnarray*} \{ P_{\vartheta} | \vartheta \in \Theta \} \end{eqnarray*}$ die Menge aller möglichen W.-Maße ist, also hier die hypergeomtrischen Verteilungen aus der Urne mit 100 Kugeln, wobei man $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ rote bzw dann $\begin{eqnarray*} 100- \vartheta \end{eqnarray*}$ schwarze Kugeln hat.

Sofern ich das richtig verstanden habe^^ geschockt

09.07.2017, 21:37

Dustin

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OK, also folgendermaßen:

Zitat:

Die Statistik $\begin{eqnarray*} \varphi \colon \mathcal{X} \to [0,1] \end{eqnarray*}$ wird wie folgt festgelegt. $\begin{eqnarray*} \varphi(x) = \begin{cases} 1 &, \text{falls} \, x \geq 10 \\ 0 & ,\text{falls} \, x < 10 \end{cases} \end{eqnarray*}$ wobei bei $\begin{eqnarray*} \varphi(x) = 1 \end{eqnarray*}$ zur Ablehnung der Nullhypothese führt.

Das kann doch gar nicht stimmen, da $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ ist und daher x gar nicht größer als 10 werden kann. x bezeichnet ja die Anzahl der getesteten Schweine mit unauffälligem Blut bzw. die Zahl der gezogenen roten Kugeln aus der Urne.
Da ja bei auch nur einem Schwein mit auffälligem Bluttest die Nullhypothese angenommen wird, ist also richtig
$\begin{eqnarray*} \varphi(x) = \begin{cases} 1 &, \text{falls} \, x=0 \\ 0 & ,\text{falls} \, x>0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Das $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ ist bei dir also die Zahl der gesunden Schweine. (Das ist völlig OK, ich will es nur festhalten, damit wir - zumindest ich - nicht dauernd durcheinanderkommen Augenzwinkern

)

Zitat:

Wenn ich an der Stelle weiterrechne komme ich aber darauf, dass das Niveau 0,1 ist

Meinst du 0,9?

Zitat:

bzw. für b, dass man 95 Schweine testen müsste, um das Signifikanzniveau von 0,05 zu erreichen

Sehe ich auch so.

Zitat:

Das macht doch aber den Test an sich sinnfrei?

Sinnfrei nicht, das effektive Niveau geht ja vom "worst case" aus, dass von allen 100 Schweinen genau 1 krank ist. Dann ist die Gefahr natürlich groß, dass dieses eine Schwein nicht zur Stichprobe gehört.

09.07.2017, 21:53

redshark

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Hey,

ich hatte x als die Zahl der roten Kugeln also der unauffälligen Schweine gesetzt.
Statt $\begin{eqnarray*} x \geq 10 \end{eqnarray*}$ wäre natürlich besser $\begin{eqnarray*} x=10 \end{eqnarray*}$

Nullhypothese (nicht alle Schweine gesund also nicht alle Kugeln rot) verwerfe ich ja, wenn alle meine gezogenen Kugeln rot, also alle Schweine gesund sind, also wenn $\begin{eqnarray*} x=10 \end{eqnarray*}$

Du hast das anscheinend von der anderen Seite betrachtet?

Aber dann unterscheiden wir uns ja gar nicht im Ergebnis oder?

Genau, ich komme auf 0,9 als effektives Niveau, nicht 0,1.

Wenn ich 95 von 100 Schweinen als gesund teste, kann ich natürlich immer sagen, dass 95% gesund sind, das ist ja trivial.
Wahrscheinlich ging es hier eher um das korrekte Verwenden von Begriffen als um praxisnahe Tests smile

und Dankeschön smile

09.07.2017, 22:36

Dustin

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Zitat:

ich hatte x als die Zahl der roten Kugeln also der unauffälligen Schweine gesetzt.
Statt $\begin{eqnarray*} x \geq 10 \end{eqnarray*}$ wäre natürlich besser $\begin{eqnarray*} x=10 \end{eqnarray*}$

Du hast Recht, ich war doch durcheinandergekommen... also haben wir

$\begin{eqnarray*} \varphi(x) = \begin{cases} 1 &, \text{falls} \, x = 10 \\ 0 & ,\text{falls} \, x < 10 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Genau, ich komme auf 0,9 als effektives Niveau, nicht 0,1.

Gut.

Zitat:

Wenn ich 95 von 100 Schweinen als gesund teste, kann ich natürlich immer sagen, dass 95% gesund sind, das ist ja trivial.

Jetzt frage ich mich allerdings, ob du das effektive Niveau/Signifikanzniveau richtig verstanden hast.
Ein Signifikanzniveau von 5% bedeutet nicht, dass man mit dem Test sicherstellen will, dass 95% der Schweine gesund sind, sondern, dass man für den Fall, dass die Nullhypothese stimmt (also mindestens ein krankes Schwein unter allen 100 Schweinen ist), dies mit 95%iger Wahrscheinlichkeit durch den Test auch erkennen will.

Die Definition des effektiven Niveaus als $\begin{eqnarray*} \sup_{\vartheta \in \Theta_0} E_{\vartheta}(\varphi) \end{eqnarray*}$ bedeutet dabei, dass man dabei vom "worst case" auszugehen hat. Das bedeutet: die Nullhypothese ist wahr, aber die Gefahr, dies nicht zu erkennen, ist maximal groß. (deswegen wird das Suprenum über alle $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ gebildet, die zur Nullhypothese gehören). In diesem Fall heißt das: Genau eins der 100 Schweine ist krank, denn dann ist logischerweise die Gefahr, dass dieses eine Schwein nicht getestet wird, maximal groß.
Wir gehen also von $\begin{eqnarray*} \vartheta=99 \end{eqnarray*}$ aus. Wenn wir jetzt 10 Schweine testen, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass diese 10 alle gesund sind (was dazu führt, dass wir uns fälschlicherweise gegen die Nullhypothese entscheiden)? Sie liegt bei 90%, denn das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das kranke Schwein nicht unter den getesteten ist.
So und nicht anders bestimmt man das effektive Niveau! Dieselben Überlegungen treffen auch für b) zu.

LG Dustin

10.07.2017, 15:00

redshark

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Hm, ja du hast Recht.

Ich hatte wohl die inhaltliche Aussage des Niveaus nicht ganz verstanden.
So wie du es erklärst macht das ganze auch wiederum mehr Sinn (und stimmt auch mit meinem Skript überein) Augenzwinkern

10.07.2017, 18:58

SHigh

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Hallo redshark,

bitte entschuldige den Unsinn den ich geschrieben hatte. Zu Glück hast du schnelle Hilfe bekommen.

LG

10.07.2017, 19:18

Dustin

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@redshark Da hat dein Skript aber Glück gehabt Big Laugh

@SHigh Mit dem ganzen rut/schwarz/krank/gesund kann man aber auch schnell durcheinanderkommen, ist mir ja zwischendurch auch passiert...

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