Äquivalenzrelation und -klassen

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Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation und -klassen
Meine Frage:
Hallo smile

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Es sei

und die kleinste Äquivalenzrelation auf M, die die Menge enthält

Nun solle ich
(i) R bestimmen und
(ii) die Äquivalenzklassen von R angeben

Meine Ideen:
Teil (i) meine ich gelöst zu haben:

Die kleinste mögliche Äquivalenzrelation auf M ist die Gleichheitsrelation mit

Hinzu kommen laut Aufgabenstellung die Tupel und somit wegen der Symmetrieeigenschaft auch

Wegen der Transivität folgt aus (2,4) Element R und (4,6) Element R => (2,6) Element R und aufgrund der Symmetrieeigenschaft folglich auch (6,2)Element R

Hierfür erhalte ich dann die folgende kleinste Äquivalenzrelation auf M mit der gegebene Menge:


Habe ich hier was vergessen oder falsch?

Bei Teil (ii) (Angabe der Äquivalenzklassen) benötige ich eure Hilfe. Wie habe ich hier vorzugehen?

Hier wäre ich für ein paar Ansätze sehr dankbar smile
Vielen Dank smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

{1},{2,4,6},{3},{5}
 
 
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Sind das die Äquivalenzklassen? Kannst du mir erklären wieso oder wie man darauf kommt? smile

Und war der erste Teil soweit richtig begründet?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erlaube mir einfach mal zu antworten smile

Zitat:
Und war der erste Teil soweit richtig begründet?

Besser hätte es auch Elvis nicht gekonnt Freude

Zitat:
Sind das die Äquivalenzklassen?

Yup.

Zitat:
Kannst du mir erklären wieso oder wie man darauf kommt?

Ganz einfach: Innerhalb einer Äquivalenzklasse steht jedes Element mit jedem in Relation. Und kein Element steht mit einem Element aus einer anderen ÄK in Relation.

1 steht z.B. nur mit sich selbst in Relation, bildet also ganz allein eine ÄK. Genauso 3 und 5.
2,4,6 stehen dagegen paarweise in Relation, also müssen sie alle zusammen in eine ÄK.
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Schön erklärt smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dustin
Besser hätte es auch Elvis nicht gekonnt Freude


Doch, das hätte ich. Nämlich so:

Es wäre einfacher gewesen, die Aufgabe in umgekehrter Reihenfolge zu bearbeiten. 2,4,6 sind äquivalent zueinander, gehören also zu einer Klasse. Die Elemente 1,3,5 gehören wegen der Reflexivität zu jeweils einer Klasse. Damit haben wir die Klasseneinteilung von M. Die Relation R ergibt sich sofort daraus.
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

@Alina H. Bitte smile

@Elvis: Ich hatte mich schon gefragt, ob meine (klitzekleine und natürlich nur zum Spaß gemachte) Provokation etwas bewirken würde Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@dustin

Überschätze dich nicht, ich wollte Alina H. unabhängig von deinem Späßchen darauf hinweisen, wie wichtig der Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen ist.
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis: Darf ich wenigstens 10% deiner Motivation, noch etwas zu posten, für mich beanspruchen? Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Maximal 3% Big Laugh
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, auch damit kann ich leben Big Laugh
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