Bruch aus Exponentialfunktionen elegant lösen

10.07.2017, 15:24

Peanutping

Bruch aus Exponentialfunktionen elegant lösen

Meine Frage:
Bei meiner Frage handelt es sich um den Term:
$\begin{eqnarray*} \frac{z_k z}{(z-z_k)^2} \end{eqnarray*}$
hierbei sei z=e^it und z=e^it_k, also um Punkte auf dem Einheitskreis. Es soll nun nachgewiesen werden, dass wenn z\neq z_k
$\begin{eqnarray*} Im(\frac{z_k z}{(z-z_k)^2})=0 \end{eqnarray*}$
gilt. Bei den z_k's handelt es sich um in meinem Fall 4 festgelegte Punkte, welche die Urbilder der Eckpunkte eines Kreisbogenvierecks sind.

Meine Ideen:
Meine einzige Idee ist jetzt mit e^it=cos(t)+isin(t) anzufangen alles umzuformen und rumzurechnen. Das ist aber äußerst mühselig und hat bis jetzt noch zu keinem Ergebnis geführt. Fällt jemandem hier ein Trick ein?

EDIT: Latex-Tags eingefügt (klarsoweit)

10.07.2017, 15:34

klarsoweit

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RE: Bruch aus Exponentialfunktionen elegant lösen

Zitat:

Original von Peanutping
hierbei sei z=e^it und z=e^it_k

Vermutlich meinst du $\begin{eqnarray*} z_k = e^{i \cdot t_k} \end{eqnarray*}$ ?

10.07.2017, 15:34

IfindU

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RE: Bruch aus Exponentialfunktionen elegant lösen
Ich denke folgendes sollte funktionieren. Erweitere mit $\begin{eqnarray*} \overline { (z - z_k)^2} \end{eqnarray*}$ . Dann musst du nur noch zeigen, dass der Zaehler reell ist. Das ist der Fall, wenn der Zaehler mit seinem komplex-konjugiertem uebereinstimmt.

Zusammen mit dem Fakt, dass fuer Zahlen auf dem Einheitskreis $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \overline z = \frac 1 z \end{eqnarray*}$ sollte man aufs Ergebnis kommen.

Edit: Was wirklich elegantes. Man berechnet direkt das komplex-konjugierte des ganzen Bruches und mit der letzten hier aufgelisteten Identitaet steht es fast sofort da.

10.07.2017, 16:01

Peanutping

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RE: Bruch aus Exponentialfunktionen elegant lösen
Ja genau das hab ich gemeint! Entschuldingung ich hab die Latexumgebung vergessen.

Danke ich werde das morgen gleich nachrechnen und versuchen smile

Ich hätte noch eine zweite Aufgabe diesbezüglich zu lösen, nämlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{z+z_k}{z-z_k}=-i\cot\frac{t-t_k}{2} \end{eqnarray*}$

Kann ich da genauso dran gehen oder brauch ich da noch einen anderen Trick?

10.07.2017, 16:43

IfindU

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RE: Bruch aus Exponentialfunktionen elegant lösen
Was sollst du denn mit der Gleichung machen? Zeigen, dass diese allgemein gilt?

Edit: Wenn ja, so lohnt es sich sicherlich die rechte Seite erst etwas umzuschreiben. So kann man es als Quotient von Summen/Differenzen von Exponentialfunktionen schreiben. Damit sollte man eine Idee habe, wie man es links umzuformen hat.

11.07.2017, 15:30

Peanutping

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RE: Bruch aus Exponentialfunktionen elegant lösen
@IfindU: Ich hab beides mal versucht und bin auf folgende Probleme gestoßen:

1. erweitern folgt Nenner reell also schreib ich hier nur die Schritte für den Zähler:
$\begin{eqnarray*} z_kz\overline{(z-z_k)^2}=z_kz\overline{z^2}-2z_kz\overline{z_kz}+z_kz\overline{z_k^2} \end{eqnarray*}$
hier ist der mittlere Summand reell und $\begin{eqnarray*} z\overline{z} \end{eqnarray*}$ im ersten SUmmanden (z_k's im letzten) ja auch? Heißt wenn ich das konjugiere bleiben immer die komplexen Terme $\begin{eqnarray*} \overline{z_k}z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{z}z_k \end{eqnarray*}$ übrig, also gilt die Gleichheit... richtig so?

2. hier versteh nicht ganz wie ich argumentieren soll, wenn ich den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{\overline{z_kz}}{\overline{(z_k-z)^2}} \end{eqnarray*}$ vor mir habe

11.07.2017, 15:47

Peanutping

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RE: Bruch aus Exponentialfunktionen elegant lösen
Bei der zweiten Gleichung komm ich so weit, dass ich die Ausgangsgleichung auf folgende umformen kann... wo man auch schon sieht das es einen Zusammenhang gibt, aber die Begründung fehlt mir:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{it}+e^{it_k}}{e^{it}-e^{it_k}}=\frac{e^{i(t-t_k/2)}+e^{-i(t-t_k/2)}}{e^{i(t-t_k/2)}-e^{-i(t-t_k/2)}} \end{eqnarray*}$

11.07.2017, 16:06

HAL 9000

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Man kann sich etwas Schreibarbeit sparen, wenn man mit Blick auf das Ergebnis $\begin{align*} w := e^{i\frac{t-t_k}{2}} \end{align*}$ einführt: Dann ist nämlich $\begin{align*} w^2 = z\bar{z}_k \end{align*}$ und man bekommt durch Erweiterung mit $\begin{align*} \bar{z}_k \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{z+z_k}{z-z_k} = \frac{z\bar{z}_k+1}{z\bar{z}_k-1} = \frac{w^2+1}{w^2-1} = \frac{w+\bar{w}}{w-\bar{w}} = \frac{2\cos\left(\frac{t-t_k}{2}\right)}{2i\sin\left(\frac{t-t_k}{2}\right)} \end{align*}$ .

11.07.2017, 16:34

Peanutping

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Oh man, klar... danke dir!

12.07.2017, 10:51

IfindU

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RE: Bruch aus Exponentialfunktionen elegant lösen

Zitat:

Original von Peanutping
2. hier versteh nicht ganz wie ich argumentieren soll, wenn ich den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{\overline{z_kz}}{\overline{(z_k-z)^2}} \end{eqnarray*}$ vor mir habe

Wie schon gesagt, gilt $\begin{eqnarray*} \overline z = \frac 1 z \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} z \in S^1 \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} \frac{\overline{z_kz}}{\overline{(z_k-z)^2}} =\frac{1}{z_k z {(\frac 1 {z_k} -\frac 1 z)^2}} \end{eqnarray*}$ . Fasst man jetzt die zweite Brueche in der Klammer zusammen, kann man bisschen was aus der Klammer "holen" und erhaelt den urspruenglichen Ausdruck.

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