Untermannigfaltigkeiten, Charakterisierung auf R^n

Neue Frage »

zinR Auf diesen Beitrag antworten »
Untermannigfaltigkeiten, Charakterisierung auf R^n
Hi.

Wir haben die folgende Definition von Untermannigfaltigkeiten:

Seien ein -dimensionaler -Vektorraum, und .
Eine Teilmenge heißt -dimensionale -Untermannigfaltigkeit von , wenn es für alle eine offene Umgebung von und eine Abbildung (d.h. ist ein -Diffeomorphismus) in einen -dimensionalen -Vektorraum gibt, sodass gilt und surjektiv ist.

In einem Buch habe ich diese äquivalente Charakterisierung (im Spezialfall ) gefunden:
Zu jedem Punkt existiert eine offene Umgebung und eine stetig differenzierbare Funktion derart, dass
1. und
2. Der Rang der Funktionalmatrix ist .

Ich bin ein wenig verwirrt, und hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen:
Ich möchte zunächst nicht einmal die ganze Äquivalenz sehen, sondern tue mich schon bei der Richtung von der unteren Definition zur oberen schwer. Meine Frage:

Wieso fordert man unten keinen Diffeomorphismus? (Wenn das etwas mit lokaler Umkehrbarkeit zu tun hat, wieso fordert man nicht wenigstens, dass die Linearisierung von umkehrbar ist?)
Wenn ein Diffeomorphimus wäre, dann wäre diese Richtung ja klar, weil ja , also das Urbild wäre. Die Surjektivität der Ableitung liefert dann ja (2.)

Ist das ein Tippfehler? Oder kann man sich den gesuchten Diffeomorphismus irgendwie konstruieren?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

du hast falsch interpretiert. Damit sind keine Diffeomorphismen gemeint, sondern nur -fach stetig differenzierbare Abbildungen von in . Falls eine offene Menge eines -dimensionalen Vektorraums ist und kleinere Dimension hat, als kann es gar keine Diffeomorphismen zwischen und geben, weil daraus folgen würde, dass das Differential in einem Punkt ein Isomorphismus von Vektorräumen unterschiedlicher Dimension ist.

Wenn injektiv wäre, würde ja auch gelten, was im Allgemeinen ja nicht unbedingt sinnvoll ist Augenzwinkern

Wenn also wie in der unteren Definition ist, dann ist schonmal , die erste Voraussetzung ist also erfüllt. Die Surjektivitätsbedingung aus der ersten Definition folgt aus der Rangbedingung der zweiten.

Die andere Bedingung folgt, weil in der 2. Definition offenbar sein muss.
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich danke dir!

So macht das auch viel mehr Sinn. Ich habe mich schon stark gewundert, dass ich nicht einmal bei den einfachsten Mengen eine Idee hatte, warum es Untermannigfaltigkeiten sein sollen. Mit der äquivalenten Charakterisierung war es dann einfach.
Jetzt ist ja klar, warum Big Laugh


Zitat:
Dass das Differential in einem Punkt ein Isomorphismus von Vektorräumen unterschiedlicher Dimension [wäre,]

habe ich auch gemerkt. Zu dem Schluss, dass ich die Definition nicht richtig interpretiere, hat es dann nicht mehr gereicht.
Edit: Naja, immerhin hat mich das darauf gebracht, mal lieber hier nachzufragen. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Clearly_wrong
Die Surjektivitätsbedingung aus der ersten Definition folgt aus der Rangbedingung der zweiten.

Die andere Bedingung folgt, weil in der 2. Definition offenbar sein muss.


Das habe ich ja oben schon (fast) so geschrieben smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »