Summe von Elementen in endlichem Körper

11.07.2017, 10:44

alcardaalanda

Summe von Elementen in endlichem Körper

Hallo zusammen. Ich hänge hier gerade an einem Beweis über die Anzahl gewisser Konjugationsklassen in einer Gruppe fest und mal wieder ist mir die offensichtlich größte Trivialität im Beweis nicht klar.

Wir betrachten die Einheitengruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p^* \end{eqnarray*}$ des endlichen Körpers mit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Elementen. Diese Gruppe enthält also $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ Elemente und zu jedem Teiler $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} \varphi(n) \end{eqnarray*}$ Elemente der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ die Euler'sche Phi-Funktion bezeichnet.

Jetzt betrachten wir Matrizen der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \textnormal{SL}(2,p) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{F}_p^* \end{eqnarray*}$ einem der Elemente der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für ein festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Die Spur dieser Matrix ist also $\begin{eqnarray*} a+a^{-1} \end{eqnarray*}$ . Nun wird gesagt, dass die $\begin{eqnarray*} \varphi(n) \end{eqnarray*}$ verschiedenen Matrizen dieser Form alle verschiedene Spuren haben (außer natürlich die Paare, in denen die Rolle von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ vertauscht sind) und ich sehe auf Teufel komm raus nicht, warum. Ich glaube nichtmal, dass wir hierfür Elemente der gleichen Ordnung betrachten müssen. Ich habe es mal für $\begin{eqnarray*} p=7,11,13,17 \end{eqnarray*}$ nachgerechnet und alle Summen $\begin{eqnarray*} a+a^{-1} \end{eqnarray*}$ sind verschieden, unabhängig von der Ordnung der Elemente.

Ich habe es irgendwie mit einem Widerspruch versucht, also angenommen, diese Summe stimmt für zwei Elemente $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ überein. Dann hätten wir $\begin{eqnarray*} a+a^{-1}=b+b^{-1} \end{eqnarray*}$ . Aber irgendwie scheint das nicht zielführend zu sein. Und da in meiner Quelle dieser Fakt als selbstverständlich dargestellt wird, liegt es wohl an mir, der vor lauter Wald die Bäume nicht sieht. Vielleicht hat ja jemand von euch einen Stups für mich. Vielen Dank schonmal! smile

11.07.2017, 10:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von alcardaalanda
Dann hätten wir $\begin{eqnarray*} a+a^{-1}=b+b^{-1} \end{eqnarray*}$ . Aber irgendwie scheint das nicht zielführend zu sein.

Einfach mal den Weg konsequent weiterverfolgen: $\begin{align*} a+a^{-1}=b+b^{-1} \end{align*}$ ergibt umgeformt $\begin{align*} 0 = (a-b) - (a-b)a^{-1}b^{-1} = (a-b)(1-a^{-1}b^{-1}) \end{align*}$ .

$\begin{align*} F_p^* \end{align*}$ als Körper ist nullteilerfrei, damit folgt aus der letzten Gleichung

1) $\begin{align*} a-b=0 \end{align*}$ , also $\begin{align*} a=b \end{align*}$ ,

oder

2) $\begin{align*} 1-a^{-1}b^{-1}=0 \end{align*}$ , also $\begin{align*} a=b^{-1} \end{align*}$ bzw. äquivalent dazu $\begin{align*} b=a^{-1} \end{align*}$ .

Also genau das, was nachzuweisen war.

11.07.2017, 11:02

alcardaalanda

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Ui, vielen Dank für diese schnelle Antwort. Und wenn es da steht, fällt es einem natürlich auch wie Schuppen von den Augen. Ich glaube, für deine erste Umformung war es mir vielleicht noch zu früh am Morgen.
Vielen lieben Dank auf jedem Fall für deine schnelle Hilfe, du hast mir den Tag gerettet! Freude

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